Höhere Rechenkunst. Algebra.

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gibt, die Quadrate und Kuben sein können, und Andere, bei welchendas Entgegengesetzte statttindet. Er lehrt in der cyklischen Me-thode, 1 ) wie die Gleichung ax 2 -f- l = y 2 gelöst werde, ausgehendvon einer beliebigen empirisch gegebenen (Jleichung aA 2 -f- B = C 2 ,welche nur so gewählt worden ist, dass die keinen quadratischenFaktor enthaltende Zahl B so klein als möglich ausfällt, ein Ver-langen, zu dessen Erfüllung es genügte ]/a näherungsweise in Bruch-gestalt etwa als ^ zu suchen, und Zähler und Nenner dieses

Bruches in der versuchsweise aufzustellenden Gleichung ihren Platzanzuweisen. Aus der für B ausgesprochenen Bedingung folgt vonselbst ihre Theilerfremdheit gegen A. Besiissen nämlich A und IIeinen gemeinsamen Theiler d, so müsse derselbe wegen a A 2 -f- B= C 2auch in C enthalten sein, ln A 2 wäre d 2 , ebendasselbe auch in C 2

und schliesslich auch in B enthalten. Nun setzt mau F*" — A it

wobei durch Zerstäubung z, nebst A, ganzzahlig gefunden werden,und zwar wählt man von den unendlich vielen möglichen Werthenvon z 1 einen solchen, der z 2 — a kleinstmöglich macht. Setzt man

hierauf 1 -- = Ji l so ist li, eine ganze Zahl. Der indische Schrift-steller gibt allerdings dafür so wenig wie für die vorhergehendeTheilerfremdheit zwischen A und li einen Beweis, aber die Sache

Az, + C

ist richtig.

= A, folgt nämlich z, = -F-— t

4- C« — »4! B*A\ — 2 BOA, -f B

B‘A'f — 2BCA, + C* — ciA'i

2

CA,-}- 1

Nun ist z[ — a eine ganze Zahl, also

muss das Gleiche für den zuletzt erhaltenen Ausdruck gelten, unddas kann, weil, wie wir sahen, B gegen A theilerfremd ist, nur dannder Fall sein, wenn A 2 in HA 2 , — 2C’A t + 1 ganzzahlig enthalten

Ersetzt man rechts B wieder durch C 2 — aA 2 , so zeigt sich

ai’.-l!

2 CA, 4- 1

- 1 ) 2 — aA i oder aA\ -f- B,muss als rationale Quadrat-

i) 2 = C 2 . Auch C\

' A —-) = C 2 . Auch C\ — muss als rationale Quadrat-

wurzel der ganzen Zahl aA 2 -f- B , selbst ganzzahlig sein. Somitist aus der lauter ganze Zahlen enthaltenden Gleichung aA 2 -(- B — C 2

eine neue Gleichung aA 2 -j- B, = C 2 hervorgegangen, in der wieder

’) Colebrooke pag. 175 flgg.

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