Geometrie und Trigonometrie.

551

IU tuchen zweiten Potenzen jener Zahlen gefunden. 1 ) Das will sagen

in roher Weise ist n = 3 und genau jr = f/H).

Den ersteren Werth haben wir oben (S. 548) hesjiroehen. Derzweite kommt uns hier zum ersten Male vor. Es ist der Versuchgemacht worden zu ermitteln, wie man auf diesen Näherungswerthgekommen sein mag.Die Seite des regelmässigen Sechsecks indem Kreise von dem Durchmesser 10 war von Alters her als 5, derganze Umfang somit als 80 bekannt. Nun wird behauptet, der Um-fang des demselben Kreise einbeschriebenen Zwölfecks sei als //9G5,der des 24ecks als j/981, der des 48, des OGecks als ]/L> 8G, als j/987gefunden worden, und so habe man sich veranlasst gefühlt, dieGrenze j/1000 = 10 . j/10 als nach unendlich oft wiederholter Ver-doppelung der Seitenzahl erreichbar anzusehen. Diese Wiederher-stellung wäre eine ungemein glückliche zu nennen, wenn es gelängeebenso, wie in den Connnentaren zu Brahmagupta an dieser Stelleder Kreisdurchmesser mehrfach als 10 angenommen ist, auch jeneWurzelgrössen, von denen behauptet wird, sie seien für die Umfängeder Vielecke von immer verdoppelter Seitenzahl gesetzt worden, inindischen Schriften nachzuweisen. So lange aber dieses 'nicht ge-schieht, bleibt jener Werth jr = ;/lU so räthselhaft wie er allenGeschichtsforschern zu erscheinen pflegte.

lleronisch ist es wieder, wenn unter Anwendung von ProportionenHöhen mit Hilfe von Schattenlängen gemessen werden. a ) VonInteresse ist uns dann noch die stereometrische Aufgabe den Raum-inhalt einer abgestumpften quadratischen Pyramide zu finden, fürwelche Brahmagupta drei Lösungen angibt, eine für Praktiker, einefür annähernde, eine für genaue Rechnung.') Der Praktiker begnügesich mit dem Produkte der Höhe in das (Riadrat des Mittels zwischenden Seiten an der unteren und oberen Fläche des Stumpfes. An-nähernd richtig, fährt Brahmagupta fort, sei das Produkt der Höhein das Mittel der Grundflächen. Wir gehen wohl nicht fehl, wennwir darin eine Bestätigung unserer oben ausgesprochenen Ver-muthung über die Entstehung der falschen Formel für den Raum-inhalt der dreieckigen Pyramide bei Aryabhatta erkennen. Richtigsei, wenn inan den Inhalt des Praktikers um ueii dritten 'Iheil desUnterschiedes der Inhalte des Praktikers und des annähernd Rechnen-den vergrössere. Dieser letzte Ausspruch ist vollkommen wahr.Heissen n t und a, die Seiten der beiden quadratischen Grundflächenund ist h die Höhe des Pyramidenstumpfes so ist richtig dessen

') Colebrooke pag. 308, § 40. 2 ) Hankel S. 216—217. 3 ) Coleltrooko

pag. 317. tiection IX, Measure btj shodwv. ') Colebrooke pag. 312-313,§ 45—46.