Geometrie und Trigonometrie.
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Formel für das Tetragon, das Viereck also, aussprechen, was er vomTrapeze meinte; und nach diesen freilich nicht ungewichtigen Ein-würfen hat man versucht zu zeigen, wie Brahmagupta rechnend unddurch Induktion von der ihm bekannten Dreiecksformel aus zu derentsprechenden Vierecksformel gelangte, deren bedingte Giltigkeitihm nur nach und nach klar wurde. 1 ) Diese sehr verschiedenenAuffassungen können uns nur bestimmen die Dunkelheit des ganzenKapitels bei Brahmagupta von § 21 bis § 38 als eine bisher nochnicht vollständig vernichtete zu erklären. Wir glauben dabei nochimmer an die Richtigkeit einiger aus der Formel von § 26 und derDefinition von § 38 gezogenen Schlüsse, möchten aber doch nicht sozuverlässig behaupten, jede Schwierigkeit sei damit verschwunden.
Wir meinen freilich ein Theil der Schwierigkeiten sei durchunglückliche, Uebersetzung entstanden, welche das Worte Trapez an-wandte, wo es nach dem Sinne, welchen man diesem Worte beizu-legen gewohnt ist, nicht angewandt werden durfte. CaturvedaPrithüdakasvämin, ein Scholiast des Brahmagupta , der selbst vorBhäskara lebte, der ihn anführt, 2 ) gibt zu dem die Flächenformelenthaltenden § 21 eine wichtige zu wenig berücksichtigte Erläuterung: 3 )Dreierlei Dreiseite gebe es, fünferlei Vierecke und als neunte ebeneFigur den Kreis; die Üreiseite seien gleichseitig, gleich für zweiSeiten und ungleichseitig; die Vierecke seien gleiche, paarweisegleiche, mit zweien gleiche, mit dreien gleiche und ungleiche Vier-ecke. Man sieht wohl: von Parallelismus, von Trapez und dergleichenist dabei ausdrücklich wenigstens nicht die Rede, und wenn mandie fünf Gattungen von Vierecken aus den Beispielen, die derselbePrithüdakasvämin beifügt, zu bestimmen sucht, so findet man, dass dasgleiche Viereck das Quadrat, das paarweise gleiche das Rechteck ist;dass unter dem mit zweien gleichen und mit dreien gleichen gleich-schenklige Paralleltrapeze zu verstehen sind, deren kleinere Parallel-seite in dem zweiten Falle auch noch den beiden gleichen Schenkelngleich sein soll. Die fünfte Gattung von Vierecken, nämlich dieunter gewissen anderen zu erfüllenden Bedingungen ungleichen Vier-ecke sind im § 38 definirt. Nun sieht man, welche heillose Ver-wirrung entstehen musste, sobald man die Vierecke letzter GattungTrapeze nannte, statt irgend ein anderes Wort z. B. unser ungleichesViereck zu wählen. Mau sieht aber noch mehr. Man sieht, dassdie 5 Gattungen von Vierecken keineswegs richtig gewählt sind.Sie erschöpfen den Begriff des Vierecks durchaus nicht. Aber darin