Geometrie und Trigonometrie.

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sich senkrecht durchkreuzende (Jerade bilden, welche als Diagonaleneines leicht zu vollendenden Vierecks auftreten. Gegenseiten diesesVierecks sind, wie wir schon wissen h<\ und hC .,; das andere PaarGegenseiten heisst leicht ersichtlich 7/c, und IIc 2 . Alle vier Vier-ecksseiten sind von einander verschieden, sind ungleich; das Viereckist aber aus vier rationalen rechtwinkligen Dreiecken zusammen-gesetzt, und je zwei Scheiteldreiecke sind einander ähnlich. Dieseungleichen Vierecke sind unter denen der fünften Gattung ver-standen. Zu ihrer Bildung sind also Zusammensetzungen recht-winkliger Dreiecke nothwendig, welche Jleron gekannt hat (S. 327),und für welche er in seiner Geometrie des eigeneu Kunstausdruckeszusammenhängender rechtwinkliger Dreiecke, TQiycova öpGoyojt't«yvaptva , sich bediente. Durch ähnliche Zusammensetzung istaus den beiden rechtwinkligen Dreiecken 5, 12, 13 und 9,* 12, 15 ander Kathete 12 das in allen Beziehungen rationale berühmte Dreieck13, 14, 15 entstanden, welches Ileron kannte, welches auch denIndern vielfach als Beispiel diente.

Vor der Zusammensetzung rationaler rechtwinkliger Dreieckemüssen wir aber auch die Kenntniss rationaler rechtwinkliger Drei-ecke selbst als vorausgehend vertreten finden. Ileron hat sich mitsolchen beschäftigt; auch bei Brahmagupta fehlen sie nicht, der, wiewir schon (S. 533) andeuteten, zwei mal darauf zurückkommt, zuerstin seinem geometrischen Kapitel und dann eingeschaltet zwischendem Rechnen mit irrationalen Quadratwurzeln, wo die Regel am

deutlichsten ausgesprochen ist. 1 ) Man solle a, 4 — b ) und

4 (y + i) als Seiten wählen, wobei a und b ganz beliebige Werthe

haben. Diese Formel, welche die unter dem Namen des Pythagoras und des Platon bekannten Sonderfälle durch b = 1 und b = 2 in sichschliesst, ist genau so bei keinem Griechen uns begegnet. DieserUmstand ebenso wie die Stelle, wo sie sich ausgesprochen findet, gebenihr ein mehr indisches Gepräge, aber die Aufgabe, welche durch sieihre Lösung fand, dürfte griechisch sein, dürfte, wenn man denAusdruck gestatten will, in Indien nur noch mehr algebraisirt wordensein, als sie es schon war.

Wir denken nicht, dass alle diese kleineren und grösseren Ueber-einstimmungen zwischen Ileron und Brahmagupta der Annahmeunseres Grundgedankens entgegenwirken können, und fragen nun wasaus einer so aus der Fremde eingeführteu Lehre im Lauf der Zeitenwerden musste? Wesentliche Fortschritte dürfen und können wir beieinem nicht geometrisch angelegten Volksgeiste nicht erwarten. Im

') Colebrooke pag. 340, § 38.