Geometrie und Trigonometrie.

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Aufgabe vom Kreise, bei welcher Summen von Stücken verschiedenerDimensionen gegeben sind (S. 216), als der des Nipsus aus Hypotenuseund Fläche, d. h. also halbem Produkte der Katheten die Dreiecks-

seiten selbst zu finden (S. 292). Bhäskara löst die erste Aufgabe wiefolgt. Ist c, c 2 =p so ist 2p = 2c, c 2 = (c, c 2 ) J — (c* + == (c, +c 2 ) 2 — h' 1

— (e, -(- c 2 -f- h) (c, -f- c 2 — h). Da nun c,-|-e 2 -|-A = s gegeben ist, so

s* + 2p

folgt c, -f- c 2 — h = - g - und 2h = s — - *■-, h — -

Die Katheten findet man noch einzeln, indem von

der Werth 4c, c 2 = 4;) abgezogen wird; so entsteht nämlich (c, — c 2 ) 2

- 12 ? s dlAg . un( ] daraus c, — c., welches in Gemeinschaft mit4 s* *

c, —(— c 2 die Katheten liefert. In der zweiten Aufgabe ist c i -c 2 -h=pund c, + c 2 + h = s gegeben. Aus s — h = c, -f- c 2 erhält man

2s/<-f ;t 2 =cj + c* + 2c 1 c !

mithin ist s 2 — 2sh

2sh 1 —s 1 h = —2p. Daraus findet man h, daraus s — h = c, -f- c 2 und

4 ^ = 4c,e 2 , und nun ist es wieder leicht c, — c 2 und endlich die

Katheten zu finden. Das sind Methoden, welche der von Nipsus an-gewandten entschieden ähneln, so wenig in Abrede gestellt werdensoll, dass Bhüskaras Aufgaben die bei weitem verwickelteren sind.Hinzugekoinmen sind endlich einige Beweise geometrischer Sätzedurch Rechnung, und einige auf Anschauung beruhende, wenn manletztere als Beweise gelten lassen darf. Ein Beispiel beider Auf-fassungen bildet der Beweis des pyt-hagoräischen Lehrsatzes, der sichin den Vtja Ganita vorfindet. 1 ) Das eine Mal wählt man die Hypo-tenuse zur Grundlinie, auf welche (Figur 79) von der Spitze des rechtenWinkels aus eine Senkrechte gefällt wird,

und weist auf die Eigenschaft der zwei soentstehenden rechtwinkligen Dreiecke hin mitdem ursprünglichen Proportionalitäten zubilden. So kommen, wenn /<, und h 2 dieStücke der Hypoteuuse h heissen, die je anc, und c 2 anstossen, die Verhältnisse heraus

und daraus folgt

h (/;, -j- h 2 ) — h 2 = cf + c\.

Der andere Beweis, welcher, wie im 34. /

Kapitel sich zeigen wird, mehr als 200 Jahre vor ^

Bhäskaraschon bekannt war, coustruirt(Fig.80) Flg ' 80 '

über jede Seite des Quadrates der Hypotenuse nach innen zu das

•) Colebrooke pag. 220—222, § 146.