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Kapitel XXXIII.

der „einem anderen Buche der Arithmetik“, in alio libro arithmetico,entnommenen Bemerkung über die Ausnahmestellung der Einheitfindet sich aber nahezu wörtlich in der Algebra des Mubammed ihnMusil. ’) Wir sind also in derThat berechtigt hier unter dem Namendes Muhammed ihn Mftsä Alchwarizmi über jenes Rechenbuch weiterzu berichten, für ihn in Anspruch zu nehmen, was aus dem letztenTheile der hier mitgetheilten Stelle unzweifelhaft hervorgeht, dasswer so schrieb in der Zahlenlehre der Neupythagoräer wohl geschultsein musste, welche er nicht aus indischen Quellen kennen lernenkonnte, dass unter jenem anderen Buche der Arithmetik die späteresogenannte spekulative Arithmetik im Gegensätze zur praktischenArithmetik (S. 604) gemeint ist, dass dem Verfasser darüber Kenntnissezu Gebote standen, welche unmittelbar oder mittelbar auf Nikomachus,vielleicht auch auf Theon von Smyrna, der am deutlichsten betonthat, die Einheit sei keine Zahl (S. 368), zurückgehen.

Nun wird das eigentliche Rechnen gelehrt, das Zahlenschreiben,das Addiren, bei welchem ein besonderes Gewicht auf den Fall gelegtist, dass die Summe der Ziffern an einer Stelle 9 übersteigt; die Zehnersollen alsdann der folgenden Stelle zugerechnet und an der ursprüng-lichen Stelle nur das geschrieben werden, was unterhalb 10 nochübrig bleibt. „Bleibt nichts übrig, so setze den Kreis, damit dieStelle nicht leer sei; sondern der Kreis muss sie einnehmen, damitnicht durch ihre Leerheit die Stellen vermindert werden und diezweite für die erste gehalten wird.“ 2 ) Bei der Subtraktion wie beider Addition soll man bei der höchsten Stelle also links anfangen, dannzur nächstfolgenden übergehen, weil dadurch die Arbeit, so Gott will,nützlicher und leichter werde. Die eigentliche Schwierigkeit derSubtraktion für Anfänger, die Behandlung des Falles, dass eine Stelledes Subtrahenden durch eine höhere Zahl als die entsprechendeStelle des Minuenden erfüllt ist, wird nicht mit einem Worte berührt.Die dritte Operation ist das Halbiren, welches in der umgekehrtenOrdnung bei der niedersten Stelle zu beginnen hat. Das Verdoppelnhingegen, die vierte Operation, beginnt wieder von oben. Die Multi-plikation wird nach der Weise ausgeführt, welche wir (S. 519) beiden Indern kennen gelernt haben; das Produkt wird jeweil über diebetreffende Ziffer des Multiplikandus geschrieben und verbessert, wenneine nach rückwärts folgende Stelle des Multiplikandus mit der Mul-tiplikatorziffer vervielfacht eine Verbesserung nöthig macht. Von

') The algebra of Mohammed ben Musa (e dit. Kosen). London , 1831, pag. 5,§3:7 also observed that every number is composcd of units and that any nurnbermay be divided into units. 2 ) Si nihil remanserit pones circulum, ut non sitdifferentia vacua: set sit in ea circulus qui occupet ea, ne forte cum vacuafuerit, minuantur differentiae, et putetur secunda esse prima. Trattati d’arit-metica 1, 8.