erworben. Von ihm rührt eine Methode von Berechnung vonSinustafeln her, 1 ) welche den Sinus des Winkels von -i Grade
mit einer Genauigkeit liefert, welche sich bis zur Einheit der9. Decimale erstreckt. Er geht aus von der Vergleichung sin (ß-f- ß)— sin u < sin « — sin (ß — ß). Er beweist dieselbe nicht, aber esist einleuchtend, dass sie Giltigkeit hat, sofern die Winkel u — ß, «,« -f- ß sämmtlich dem ersten Kreisquadranten angehören, weil sofern0 < cos ß < 1 aus sin (u —(— /3) —(— sin (ß — ß) — 2 . sin a . cos ßsofort sin (« + ß) -f- sin (« — ß) < 2 sin a und daraus jene Ver-gleichung hervorgeht. Setzt man die Vergleichung nach rechts wienach links fort, so erhält man:
sin (ß 3/3) — sin (« + 2ß) < sin (ß -}- 2/3) — sin (« + ß) < sin(ß -(- ß) — sin a < sin u — sin (ß — ß) < sin (ß — ß) — sin (ß — 2ß)< sin (ß — 2ß) — sin (ß — 3/3)
und daraus:
sin(ß-(-3/3) — sin(ß-f-2/3) < sin (ß —(- /3) — sinß < siuß — sin(ß — ß)sin (ß + 2/3) — sin (a + /3) < sin (ß -f- ß)— sin a < sin (ß— ß) —sin(ß— 2ß)sin(ß-|-/3) —sin ß =sin(ß-|-/3) —siiiß<siu(ß —2/3)—sinfß—3/3)
Addirt man die drei Formeln so entsteht: sin (u -f- 3/3) — sin u< 3 [sin (ß ß) — sin ß] < sin u — sin (ß — 3/3) oder endlich
2 [sin (ß + 3/3) — sin ß] <sin (ß-f-/3) — sin ß < i [sin u — sin (ß — 3/3)]
Nun kann man sin 30° und sin 60° durch Quadratwurzelausziehung
in beliebiger Genauigkeit finden und durch Quadratwurzelausziehung,
die weiter jeden beliebigen Grad von Genauigkeit gestattet, auch zu
den Sinussen der stets lialbirten Winkel gelangen. So kommt man
, O- 36« , 60« .18« , . 15«
zu den Sinussen von — und von oder zu sm — und sm „ ,o4 Iäo 32 32 7
16 °
zwischen denen sin — - sin 30' enthalten sein muss. Nun setzt
150 10
man « = , ß = ^ so nimmt die letzterhaltene Vergleichung die
32
Gestalt an: ~ J^sin — sin ^°] < sin 30' — sin ?|° < | j^sin 15°
.Sill
r]-
120
3J
/ . 12®
Ausser sin 30' ist darin nur noch sin -- unbekannt,
welches aber auch mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden kann
12
vermöge „ , ■
12 = 4 /i» _ 15 \32 • \:i> 32/
und somit ist eine neue fortlaufende
Ungleichung
') Woepcke im Journal Asiatique für April und Mai 1860 pag. 298—299.Cantob, Geschichte der Mathem. I. 41