Zahlentheoretiker, Rechner, geometrische Algebraiker v. 950 etwa bis 1100. 663

scheu Theiles forciert die Auffindung eines Faktors, welcher mit„ _f_ y b vervielfacht die Einheit hervorbringe.

Die Aufgabensammlung, welche in 5 Abschnitte zerfallend diezweite praktische Abtheilung bildet, ist nach der Schwierigkeit derAufgaben als einzigem Eintheilungsgrunde geordnet. Man trifft alsoin ihr in bunter Mannigfaltigkeit bestimmte und unbestimmte Auf-gaben von den verschiedensten Graden. Alkarchi benutzt, wie sicherwarten lässt, bei seinen Auflösungen nur positive Zahlen. NegativeGleichungswurzeln sind ihm ein Beweis der Unmöglichkeit der be-treffenden Aufgaben, und, was einigermassen auffallen darf, auch derWurzelwerth 0 wird von ihm ausgeschlossen. 1 ) Die bestimmtenAufgaben höherer Grade gehören sämmtlich jenen dreigliedrigen aufquadratische Gleichungen zurückführbaren Formen an. Die unbe-stimmten Aufgaben sind theilweise dem Diophant entlehnt, und einCommentator Ihn Alsirädsch hat am Schlüsse des 4. Abschnittesder Aufgaben ausdrücklich bemerkt: „Ich sage die Aufgaben diesesAbschnittes und ein Theil derer des vorhergehenden Abschnittes sindihrer Reihenfolge nach den Büchern Diophants entnommen. Sogeschrieben durch Ahmed ihn Abu Bekr ibu f Ali ibn AlsirädschAlkalänisi. Schluss.“ 2 ) Andere Aufgaben rühren dagegen, wie esscheint, von Alkarchi selbst her, und unter diesen mögen spätererRückbeziehungen wegen zwei besonders angeführt werden, die inmoderner Schreibart x 2 -f- 5 = y 2 und x 2 — 10 = y 2 heissen. ' 1 ) ZurAuflösung der Erstereu setzt Alkarchi y — x + 1, zur Auflösungder Zweiten y = x — 1 und erhält so für jene x l = 4, y 2 = 9, für

diese x 2 = 30-j-, y 2 = 20^-. Alan sieht, dass Alkarchi die ge-brochenen Auflösungen unbestimmter Aufgaben keineswegs scheut,sondern gleich Diophant nur irrationale Werthe verpönt. An sichinteressant ist es, dass Alkarchi die Auflösbarkeit von +(</# — b)— x 2 = y 2 behandelt und ihre Bedingung in der Zerlegbarkeit von

(j)* b in die Summe zweier Quadrate erkannt hat. 4 ) Die Auf-

lösung von + (ax — b) — x 2 = y 2 nach x liefert nämlich x = -f-

y 2 , wo die

oberen, beziehungsweise die unteren

Vorzeichen in der Aufgabe und in der Auflösung zusammengehören.

Kann man nun ^ -4- b in zwei Quadrate zerlegen, so setze man diese

4

y 2 -f- s 2 und bekommt dadurch j; = + 7 * + £. lu zwei Aufgaben

') Fakhri pap. 78 und 11. 2 ) Ebenda 29 — 23. 3 ) Ebenda 84 (Aufgaben II,22 und 23). Ebenda 113 (Aufgabe IV, 32J.