Kapitel LXIX.

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Bralie aut' der Insel Hveen war und dort, vielleicht mit Tycho ge-meinsam, das Verfahren ersann und übte. Als er etwa 1584 nachKassel kam, theilte er es ohne Beweis Bürgi mit, der nun selbsteinen Beweis fand, dabei die Fruchtbarkeit des Satzes erkannte undihn erweiterte. Wittichs Satz war vermuthlich der folgende:

sin « . sin ß — ^ [sin ^90° — « -{- ß) — sin ^90° — « — ß)J

d. h.

sin « . sin ß = [cos (u — ß) — cos (« -f- ß ij

unter der Voraussetzung « -f- ß < 90 u und Bürgi’s Erweiterung liess« + ß > 90° zu, so dass alsdann:

sin a . sin ß = ^ [sin (90° — « + 0) -j- sin — 90°)J.

Gegenwärtig ist dieses wegen sin A — — sin (— A ) sofort einleuchtendund bedarf keines neuen Beweises. In den achtziger Jahren desXVI. Jahrhunderts war das noch wesentlich anders, und jede Formelmusste besonders entdeckt werden. Wir erinnern nur an die nochanderen, wenn auch prosthaphäretischen Formeln sehr nahe ver-wandten Gleichungen des Rhäticus (S. 554). Um so überraschenderist eine wmitere Anwendung, welche Bürgi von dem Gedanken derl’rosthaphäresis machte, und die in wiederholter Benutzung desselbenunter wahrscheinlich erstmaliger Einführung eines Hilfs-winkels besteht. Die Formel der sphärischen Trigonometrie

cos a = cos b . cos c -f- sin b . sin c . cos A

wandelte er durch sin b . sin c = [cos (b — c) — cos (h + c)] = coso;in die nur Additionen erfordernde Gestalt

cos a = i [cos (b — c) + cos \b + c) + cos (# — A) + cos ( x -{-.

Ein gewisser Jacob Curtius scheint dann Clavius von der prostha-phäretischen Methode Kenntniss gegeben zu haben, der selbstwiederum an Tycl.o darüber schrieb. Andere erhoben gleichfallsAnsprüche auf die Urheberschaft der damals wichtigen Methode, aberohne dass dieselben gerechtfertigt erscheinen. Jedenfalls war alsoBürgi’s Augenmerk auf die Herstellung einer genauen Sinustafelgerichtet, und dazu musste er in geometrische Untersuchungen ein-treten, welche ihm Gleichungen zwischen einer Sehne und der Sehnedes nten Theiis ihres Bogens verschafften. Bei n = 2 war das Quadratder Sehne 4a; 2 — x 4 . Bei n = 3 war die Sehne 3a; — x 3 . Bei n = 4war das Quadrat der Sehne 16a; 2 — 20a; 4 -f- 8a: 6 — a: s , wofür Bürgi

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16 — 20 -f- 8 — 1 schrieb, und ähnliche Gleichungen leitete er abbis zu n = 20. Die Schreibweise, welche wir eben als die Bürgi’s