Kapitel LXXV.

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Zahlenreihe bis zur Summe der 11. Potenzen einschliess-lich. Er sagt zwar nirgend, wie er zu diesen Formeln gelangte, eskann aber kaum ein Zweifel sein, dass er sich fortgesetzte Differenzen-reihen bildete, dass er so den Begriff der arithmetischen Reihehöherer Ordnung gewann, dass er von ihm aus empirisch dieSummenformel sich verschaffte und mit dem Zutreffen in einigenwenigen Fällen statt jeden Beweises sich begnügte. Es war also eineungenügende Induktion, auf welche Faulhaber sich verliess, und nurdie Geduld und der rechnerische Scharfsinn sind zu rühmen, welcheauf so wenig gesichertem Boden sich mit Glück zu bewegen ver-mochten.

Die Zeit war gekommen, in welcher die ungenügende Induktionder sogenannten vollständigen Induktion den Platz räumenmusste, oder anders ausgesprochen die Erfindung des Beweisesvon n auf n + 1 stand bevor, und der ihn lieferte, war BlaisePascal. Die Zeit der Erfindung genau anzugeben ist nicht möglich,jedenfalls fiel sie vor 1654. In dem Traite du triangle arithmetique,welcher 1662 bei Pascals Tode in gedrucktem Zustande sich vorfandund dann 1665 in den Buchhandel kam, auf welchen aber in Briefenzwischen Pascal und Fermat aus dem Sommer 1654 deutlich an-gespielt ist, findet sich eine 12. Folgerung, Consequence XII,') zuderen Beweis Pascal sich zweier Hilfssätze bedient. Erstlich sei dievon ihm ausgesprochene Wahrheit in der zweiten Reihe von Zahlenaugenscheinlich erfüllt, und dann behauptet der zweite Hilfssatz qucsi cette proportion se trouve dans une base quclconque, eile se trouveranecessairement dans la base suivante. Die Vereinigung der beidenWahrheiten, dass was in einem Falle als richtig sich erweist, imnächsten Falle auch richtig sein muss mit der durch Augenscheinerwiesenen Richtigkeit in einem bestimmten Falle, bildet aber dieMethode der vollständigen Induktion, eine der fruchtbarsten der ge-sammten Mathematik.

Noch 28 Jahre früher als die Methode der vollständigen Induktionwar 1637 eine andere Methode von grösster Fruchtbarkeit bekanntgemacht worden: die Methode der unbestimmten Coeffi-cienten. Ihr Erfinder war Descartes. In dessen Geometrie von1637 findet sich die Beschreibung der Methode, welche in der mehrverbreiteten lateinischen Ausgabe 2 ) folgenden Wortlaut besitzt:Attamen vos monere volo, quod inventio haec supponendi duas eiusdemformae aequationes ad comparandum separatim omnes terminos uniuscum omnibus terminis alterius, ut inde ex una sola nascantur pluresaliae, infinit is aliis Problematis inservire possit , neque una ex minimis

’) Pascal 111,248. ’) Geometria a Renato Descartes anno 1637 gallice

edita (ed. Franciscus van Schooten. Amsterdam 1659) I, 49.