Erfindung von Methoden. Wahrscheinlichkeitsrechn. Kettenbrüche u. s. w. 687

Stimmung der ganzen Zeilen und Kolumnen spricht Pascal mit denWorten aus: En tout triangle arithmetique un rang parallele et unperpendiculaire qui ont un meine exposant sollt composes de celhdestoutes pareilles les unes aux autres .’) Jede Basis besitzt ferner nachPascal die doppelte Summe der ihr vorhergehenden. 2 ) In der 5. Basisz. B. ist in Folge des Bildungsgesetzes des Dreiecks 1 = 1, 4 = 1 + 3,6=3 + 3, 4 = 3 + 1, 1 = 1, also 1+ 4 + 6 + 4+1 = 2(1+ 3+3+1).Da nun die Summe der ersten Basis 1 ist, so wird die der zweiten 2,die der dritten 4, und jede weitere Summe einer Basis ein weiteres'Glied der mit 1 beginnenden geometrischen Reihe 1, 2, 4, . . . sein,nämlich das sovielte, als die Reihennummer der Basis ist. 3 ) Die Be-stimmung einer einzelnen Zeilenzahl (r)* wird nach folgender Vor-schrift vorgenommen. 4 ) Man bildet das Produkt der Zahlen 1-2-3--• (Z:-— 1),ferner das der Zahlen r ■ (r + ])•■•(»• + h — 2), so ist (r) k der Quo-tient der Division des zweiten Produktes durch das erste, z. B.

(3), =

3 . 4 . 5.6I . 2.3.4

- 15 .

Die in der Eckzelle links oben befindliche Zahl, gewöhnlich eine 1,heisst die Erzeugungszahl, generateur , des Dreiecks. 6 ; Ihr gleichmüssen alle Zahlen der ersten Zeile und der ersten Kolumne gewähltwerden, damit auch bei diesen (>•)* — (r — 1)* + (r)*_i sei, und nachdemselben Gesetze füllen alsdann die übrigen Zellen sich an. DieSätze, welche wir ausgesprochen haben, ändern sich naturgemäss ineinigen Beziehungen, wenn eine andere Zahl als 1 zur Erzeugungszahlgenommen wird. Das Einheitsdreieck, wie wir jenes kurz nennenwollen, dessen Erzeugungszahl 1 heisst, hat vielfache Anwendung.Erstlich sind seine Zeilen und ebenso die denselben gleichen Kolumnenmit lauter arithmetischen Reihen steigender Ordnung besetzt, welchealso einfach daraus abgeschrieben werden können. Die zweite An-wendung bildet die Auffindung der Combinationszahlen, 6 )d. h. der Zahlen, welche angeben, auf wie viele verschiedene Artenman eine gegebene Anzahl von Elementen aus einer ebenfalls ge-gebenen nicht kleineren Anzahl von Elementen auswählen kann. Dermoderne Sprachgebrauch sagt: n Elemente sollen zur Klasse Je com-biniert werden; bei Pascal heist es, man suche la multitude des com-binaisons des 1c dans n. Eines Zeichens bedient sich Pascal nicht fürdie Combinationszahlen, dagegen kannte er deren meiste Eigenschaften.Schreiben wir für die Combinationszahl von n Elementen zur

Klasse Je, so weiss Pascal, dass (”) = 1, dass = n , dass

') Pascal III, 247 Consäquence VI. 2 ) Ebenda III, 247 Consequenee Vll.3 ) Aont Vexposant est le meine que celui de la base. ') Pascal III, 251 Probleme.5J Ebenda III, 245. 6 ) Ebenda 111, 253 — 257: Usaye du triangle arithmetique

pour les combinaisons.