Erfindung von Methoden. Wahrscheinlichkeitsrechn. Kettenbrüche u. s. w. (393

Die Grundlage, auf welche Huygens seine Betrachtungen stützt,ist die des arithmetischen Mittels. Wenn, sagt er unter An-wendung allgemeiner Buchstaben, in p Fällen je weil eine Summe a,in q Fällen jeweil eine Summe b mir zufällt, so ist in jedem einzelnen

Falle meine Erwartung ~ ^ • Daran knüpft er dann Theilungs-

aufgaben, welche er vollständig in Pascals Sinne, bevor dieser dasarithmetische Dreieck anwandte, behandelt, so dass es wahrscheinlichwird, er habe durch Roberval mehr Andeutungen über das VerfahrenPascals als über dasjenige Fermats erhalten. An die Theilung zwischenzwei Spielern knüpfen sich ähnliche Aufgaben unter Annahme vondrei oder noch mehr Spielern, und wir erinnern uns, dass hier Pascalrathlos geblieben war, wenigstens seines Dreiecks Bequemlichkeit ein-büsste. Huygens wendet auch hier ein recurrirendes Verfahren an.Es wird berechnet, wie viel jedem einzelnen Spieler unter der Voraus-setzung zukomme, es sei ein weiteres Spiel gemacht worden und derReihe nach zu Gunsten jedes der betheiligten Spieler ausgefallen.

Ausser den Theilungsaufgaben waren von De Mere seiner Zeitauch Würfelaufgaben gestellt worden. Pascal und Fermat liessen sichdiese, als leichter, wenig angelegen sein. Huygens dagegen setzt sievon Propositio X seiner Abhandlung an auseinander, und wieder aufder Grundlage des arithmetischen Mittels aus den unter den ver-schiedenen möglichen Voraussetzungen zu erwartenden Gewinnen,sors oder aestimatio expectationis. Will man mit einem Würfel aufeinen Wurf 6 Augen werfen, so sind sechserlei Würfe möglich, vonwelchen einer den Gewinn a liefert und fünf den Gewinn 0, die Er-wartung ist also 1 'y~r^- = 7 r > Stehen zwei Würfe frei, so liefert

von 6 Möglichkeiten des ersten Wurfes eine den Gewinn a, die fünfanderen liefern wenigstens die Möglichkeit im zweiten Wurfe zu ge-

winnen, welche als mit y zu veranschlagende

D °

Wartung ist also jetzt:

. i _ fl

1 ■ a + 5 • —1 + £>

11

36 ü '

bekannt ist.

Die Er-

und dem Gegenspieler kommen folglich zu, so dass die beider-seitigen Erwartungen sich wie 11:25 verhalten. 1 ) Dieses Wett-verhältniss geht bei 3 Würfen in 91 : 225, bei 4 Würfen in 671 : 625,bei 5 Würfen in 4651 : 3125, bei 6 Würfen in 31031 : 15625 oder an-nähernd in 2 : 1 über. Huygens hebt weiter auch noch hervor, dassdie Zahl der Würfe durch die Zahl der bei einmaligem W T urfe ge-

') unde contracertanti lusori cedit reliquum — a, adeo ut sors utriusque siveaestimatio expectationis eam servet rationem quam 11 ad 25.

Cantok, Goschlchto der Mathein. II.

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