Erfindung von Methoden. Wahrscheinlichkeitsrechn. Kettenbrüche u. s. w. 095
über vollkommene Zahlen dem LXXVI. Kapitel aufsparen, die übrigen,wie gesagt, schon früher erwähnen müssen, wenn nicht nach demuns vorliegenden Berichte deren Menge über ihren inneren Gehaltdas Uebergewicht besessen zu haben schiene. Wir beschäftigen unsgenauer nur mit einer 1613 gedruckten Abhandlung Cataldi’s: Trnt-Into del modo bravissimo di trovare la rndice qiiadra delli numcri, 1 )weil in ihr eine Quadratwurzelausziehu ng mittels eines un-endlichen Kettenbruches gelehrt ist. Zunächst ist allerdingsein anderer Weg eingeschlagen. Ist eine Zahl N—a 2 -\-b, und soll]/N ermittelt werden, so ist in erster Annäherung j/Nroa zu klein,in zweiter Annäherung ]/B co a -(- ^ — A zu gross. Wird A 2 — N
gebildet und durch 2 A getheilt, etwa A =B gesetzt, so ist eine
neue Annäherung y N co A — Jl wieder zu gross. Man kann sichunter Einsetzung der Werthe der einzelnen Buchstaben überzeugen,
dass (A — B) 2 = N -f- 6 .. • Setzt man ferner — = C
v ' 1 16a J (4a 2 iv-f b*) 2 B
und wählt }/Nc \)B — C als weitere Annäherung, so wird auch diesezu gross, wenn auch wieder dem wahren Werthe ]/N beträchtlichnäher kommend, und in ähnlicher Weise kann man fortfahren, immerandere Wurzelwerthe sich zu verschaffen, welche zwei Eigenschaftenmit einander gemein haben: immer über dem wahren Werthe zuliegen und demselben näher und näher zu kommen. Einen all-gemeinen Beweis führt Cataldi nicht und kann er nicht führen, weiler keiner allgemeinen Buchstaben sich bedient, sondern nur mit be-stimmten Zahlenwerthen rechnet. Bestimmte Zahlenwerthe sind esauch wieder, mit denen allein er sich befasst, wo er die Kettenbruch-methode lehrt. In allgemeiner Darstellung ist sein Verfahren fol-gendes. Ist Va‘ -4- b = a -4- x, so ist h — (2 a + x)x , x =
' \ i j i 2 a x
und folglich
Y "f~ b = (i -f- — . . ,
' 1 1 2 a b ’
2 a •
also beispielsweise
ri»-4+| +i .
» + ■■■
Die Schreibweise Cataldi’s sieht fast genau so aus, 2 ) Cataldi schreibtnämlich zuerst
Libri IV, 92, Note 1 und 93, Note 1. — Favaro, Notizie storiche sullefrazioni continue im Bülletino Boncompagni VII, 534—547. 2 ) Favaro 1. e.
pag. 535 hat die Stelle aus pag. 70—71 von Cataldi, Trattato del modo bre-vissimo etc. zum Abdrucke gebracht.
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