Zahlentheorie. Algebra.

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war er ihm schon 1637, dann sprach er ihn als sicher am 18. October1640 aus, und ebenso in einem Briefe vom 29. August 1654 anPascal. Der Wortlaut dieser letzteren Mittheilung verdient voneinem gewissen Absätze an Beachtung. Der Satz selbst besteht darin,dass die fortgesetzte Quadrierung von 2 bei Vermehrung der be-treffenden Potenzen um 1 lauter Primzahlen gebe, dass also 2’-*+ 1immer Primzahl sei. Als Beispiele führt Fermat an: 2 2 -j- 1 = 5,2 4 -f- 1 = 17, 2 S -f- 1 = 257, 2 16 -f- 1 = 65537, und nun fügt erhinzu: „Es ist das eine Eigenschaft, für deren Wahrheit ich einstehe;der Beweis ist sehr unangenehm, und ich bekenne, dass ich ihnnoch nicht vollständig zu erledigen im Stande war. Ich würdeIhnen nicht vorschlagen, einen Beweis zu suchen, wenn ich damitzu Stande gekommen wäre.“ Das Eigentliümliche besteht darin,dass der Satz irrig ist, und dass, wenn Fermat in seinen Beispielenum einen einzigen Schritt weiter gegangen wäre, er mit2 32 -f 1 = 4294967297 = 641 . 6700417die erste zusammengesetzte Zahl jener vermeintlichen Primzahlenformvor sich gehabt hätte. Fermat hat also in seiner Behauptung sichgetäuscht. Um so schärfer tritt neben der festen Ueberzeugung vonder Richtigkeit des Satzes die offene Erklärung entgegen, es sei ihmnicht geglückt, einen zureichenden Beweis aufzufinden. Sie mussuns in der Ueberzeugung bestärken, dass Fermat, wenn er auchvielleicht etwas rasch zu Verallgemeinerungen geneigt war, docheine einfache Induktion nicht als Beweis anerkannte, dass er also,wo er von thatsächlich geführten Beweisen sprach, auch wirklichsolche, die ihm tadellos erschienen, besessen haben muss.

Worin bestanden aber die zahlentheoretischen Methoden Fermats?Er rühmte sich solcher schon sehr frühe. Schon am 16. December1636 schrieb er an Roberval 1 ): Rour ce qui est des nombres et deleurs parties aliquotes j’ai trouve une methode generale pour soudretoutes les questions par algebre, de quoy j’ai fait dessein d’e'crire unpetit traite. Allein da diese Abhandlung über aliquote Theile, ver-muthlich also auch über deren Summe, über vollkommene Zahlenund dergleichen nicht zu Stande kam, so kann sie über die in ihrzur Anwendung gebrachte allgemeine Methode keine Auskunft er-theilen. Etwas bessere Ausbeute gewährt ein Bruchstück, welchesunter der Aufschrift Relation des decouvertes en la Science des nombresin der Leydner Bibliothek aufgefunden worden ist. 2 ) Fermat erklärtdarin, er habe, da die in den Büchern gelehrten Methoden sich beimBeweise schwieriger Sätze als untauglich erwiesen, eine neue Methodeerfunden, welche er la descente infinie ou indefinie, die unendlicheoder unbegrenzte Abnahme nannte. Insbesondere bei Unmög-

*) Fermat, Varia Opera pag. 149. *) Henry 213—216 (XII, 687—690).

Cantor, Geschichte der Mathem 11. 4G