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Kapitel LXXV1.

stündlich ist: „Wenn es also zwei Quadrate giebt, deren Summe undDifferenz Quadrate sind, so giebt es auch zwei andere ganze Quadrat-zahlen von derselben Beschaffenheit wie jene, welche aber eine kleinereSumme haben. Durch dieselben Schlüsse findet man, dass es einenoch kleinere Summe als die vermittels der ersteren gefundene giebt,und so werden in's Unendliche fort immer kleinere ganze Quadrat-zahlen gefunden werden, welche dasselbe leisten. Das ist aber un-möglich, weil es nicht unendlich viele ganze Zahlen geben kann,welche kleiner sind als eine beliebig gegebene ganze Zahl. Den Be-weis ganz und ausführlicher hier mitzutheilen, dazu reicht der Raumnicht aus.“

Wir haben die Namen der Männer hervorgehoben, welche Fer-mat vermutlich unmittelbar, jedenfalls mittelbar zur Nacherfindungseines Verfahrens und dadurch zu einer Art von Wettkampf heraus-forderte. Von einer Thätigkeit Robervals in der Zahlentheorie istnichts bekannt. Fermat dürfte ihn nur erwähnt haben, weil er dessenFähigkeiten überhaupt hoch anschlug, und weil Roberval in dem Brief-wechsel zwischen Fermat und Pascal als eine Art von Vertrauens-mann des Letzteren vorkommt, so dass es für Fermat nahe lag, beidePersönlichkeiten zu verbinden.

Pascal hat wirklich zahlen theoretisch gearbeitet. Zwei kleinereAbhandlungen sind uns von ihm bekannt. Die erste 1 ) beschäftigtsich mit dem Produkte von Zahlen, welche in der natürlichen Zahlen-reihe unmittelbar aufeinanderfolgen, also mit

a (a + 1) (a + 2) • ■ • (er -f- k — 1) ,wo « und k positive ganze Zahlen sind. Er nennt ein solches Pro-dukt produit des nombres continus und zwar de l’espece k, in lateinischerSprache productum continuomm speciei k. Es sei das erste Mal,meint Pascal, dass solche Produkte untersucht würden, und wenn wirihm hierin beizupflichten haben, so ist nicht minder richtig, dassPascals mathematischer Blick ihn auf einen Ausdruck leitete, derhinfort eine immer bedeutendere Rolle spielen sollte. Unter Pascals

Sätzen ist der erste folgender, dem wir freilich durch Anwendung der

Buchstaben h und k eine bei ihm nicht vorhandene Gestalt geben:Wenn h und k ganze Zahlen sind, so findet das Verhältniss statt:

1 . 2 ■ • • (A — 1) : k (k -f 1) • • • (* + h — 2)

= 1 • 2 • • • {k — 1): 7t (/* -f 1) • • • (Ä + k - 2).

Im zweiten Satze ist die Theilbarkeit von a{a ■ (a k — 1)

durch 1 • 2 • ■ • /; ausgesprochen und mittels der Betrachtung bewiesen,

dass a l a ~P U ^ ( a -U a j s ß ie y^ahl der k -j- l ten Ordnung eine

ganze Zahl sein müsse. Dieser Beweis lässt uns zugleich den Zu-’) Pascal III, 278—282.