Zahlentheorie. Algebra.
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*• + 2p z* + ( p 2 + 4 r) z 2 - q 2 = 0,wie es bei Descartes sich findet. Kennt man erst z aus der letzterenGleichung, so ist es leicht, y aus der nach dieser Unbekaunten nurnoch quadratischen Gleichung
f + zy + 4 * 2 + tP — 2 * = 0
zu finden. Man kann aber ausserdem jetzt auch f/ 4 -(- py 2 + DJ — rin zwei quadratische Faktoren zerfallen, deren einer
'/’ + *y + | s 2 + ~ 2*
heissen muss, während der andere y 2 — zy + ^ z 2 + p -(- ^ ist.
Franciscus vanSchooten, welcher gleichfalls Erläuterungenbeigab, hat die Faktorenzerlegung des Gleichungspolynoms 4 ten Gradesetwas anders eingeleitet. 1 ) Um x 4 — px 2 — qx-{-r = Q auf zweiquadratische Gleichungen zurückzuführen, setzt er
a: 4 — px 2 — qx + »' == ( x 2 yx z) (. x 2 — yx + v)
= x* -f- {z — y 2 + v) x 2 + (vy — zy) x + vz ,und nun zerfällt diese Gleichung nach einem Gedanken, der offenbareine der ersten Anwendungen der Descartes’schen Methodeder unbestimmten Coefficienten durch einen Anderen als ihrenErfinder darstellt, in die 3 neuen Gleichungen z — y 2 + v = —p ,— zy + vy = — q, vz — r. Daraus ergebe sich, sagt Van Schooten,ohne den Gang des Eliminationsverfahrens anzudeuten, der übrigensbei den nach z und v lineären beiden ersten Gleichungen auf der
Hand liegt, g = ± y 2 — ip + , v = | y 2 — | p - Einfüh-
rung dieser Werthe in vz = r giebt nach weiteren Umformungen,welche Vau Schooten wieder dem Leser überlässt, die nach y 2 kubischeGleichung iß — 2py* -f (p 2 — 4»-) y 2 — q 2 = 0, aus welcher dieKenntniss von y folgt. Einsetzung der Werthe z und v in die vorherangenommenen Faktoren giebt denselben die Gestalt
X* + yx + 7 f — 7 V + ^
und
Jeder dieser Faktoren gleich Null gesetzt, lässt endlich zwei Wurzel-werthe von x entdecken.
De Beaune hat ausser jenen Erläuterungen zu bestimmten ein-zelnen Stellen der Descartes’scheu Geometrie auch eine Schrift Delimitibus aequationuni hinterlassen, welche gleichfalls Aufnahme fand. 2 )Sie hat einen Untersuchungsgegenstand ganz neuer Art. Sie fragt
') Descartes, Geom. I, 315.
2 ) Ebenda II, 121—152.