Zahlentheorie. Algebra.

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kommende Doppelzeichen einmal + und einmal 7p heisst, und mannur der Summe y -f- z bedarf, so genügt es beidemal, das obereZeichen allein zu schreiben, und man hat

Ferner findet sich schon in diesem Briefe als X. Regula 1 ) gelegent-lich die Frage behandelt, wie man entscheiden könne, ob eine Glei-chung zwei oder gar mehrere gleiche Wurzeln besitze, und die-selbe sogenannte Hudde’sche Regel erscheint wieder, und zwarbewiesen, 2 ) in einem zweiten Briefe vom Januar 1658, welcher dieUeberschrift trägt Le maximis et minitnis.

Die Regel besteht in Folgendem. Man bildet eine beliebigesteigende oder fallende arithmetische Progression, unter deren Gliedernauch die Null Vorkommen darf, und setzt dieselbe unter die aufeinander folgenden Glieder des zu untersuchenden Gleichungspolynoms,dessen etwa fehlende Glieder mit dem Coefficienten 0 geschriebenoder sonstwie, etwa durch Sternchen, angedeutet werden. In dieserStellung multipliciert man jedes Glied des Gleichungspolynoms mitdem gerade unter ihm befindlichen Gliede der-arithmetischen Reiheund vereinigt die sämmtlichen Produkte zu einem neuen Gleichungs-polynom, welches wieder gleich 0 gesetzt wird. Die nothwendigeund hinreichende Bedingung dafür, dass die vorgelegte Gleichungmehrfach auftretende Wurzeln besass, besteht alsdann in dem Vor-handensein eines Gemeintheilers zwischen dem ursprünglichen unddem zuletzt erhaltenen Gleichungspolynome.

Suchen wir den Beweis einem heutigen Leser etwas mundgerechterzu machen, so sieht er folgendermassen aus. Es sei

x m -f a i x m ~ 1 -f- a 2 x m ~ 2 + • • • + a m ^iSC + a m

multipliciert mit (x — b) 2 = x 2 — 2bx -f- b 2 und das Produkt gleichNull gesetzt, so wissen wir zum Voraus, dass die so entstehendeGleichung:

I. x m + 2 -(- (a, — ’2b) x "‘+ 1 (a 2 — 2a,b + b 2 ) x m + • • •

-f- (Qm — 2 ci, n — 1 b -f- (im —2 5 2 ) X“ -f- (—- 2 <x m b -f- ct m — 1 5“) x+ a m b 2 = 0

zwei gleiche Wurzeln x = b besitzen wird. Die darunter zu setzendearithmetische Reihe heisst in ihren drei Anfangsgliedern a, ce -(- d,a -f- 28, in ihren drei letzten Gliedern a md, a -f- («» + lj 8,ce -[- (m -(- 2) 8 . Multiplikation der Reihenglieder mit den Gliedernder Gleichung I.in der vorbeschriebenen Weise liefert die neue Gleichung

b Descartes, Geom. I, 433—439.

*) Ebenda I, 507 — 509.