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Kapitel LXXYI.

II. ax m + 2 + ((« —f- <?) — (2 a + 2ä)b) x m + l

+ ((« + 2d) a, — (2 a + 4d) o, ft + (« -f 2d) h J ) *" + • • •+ ((« + »t d) a« — (2 a + 2 »? d) a m _! Z» + (« + »«d) a m _ 2 b 2 )x 2+ (— (2a+ (2m + 2) d) o,„& + (ß + 0+ l)d) x

+ (« + (m + 2) d) « m 6* = 0

und diese Gleichung ebenso wie die Gleichung I. ist durch x — b theil-bar. Die Ausführung der Division des Gleichungspolynoms II. durchx — b liefert nämlich den Quotienten

ߣ m + l -j- ((a -j- d) a, — (a + 2d') b) x m+ ((ß + 2 d) a 2 — (ß + 3 d) ßj b) x m ~ l + • • •

+ (( a + Mid) a m — (ß + (m + Dd) a m _id) x

— ( a "f* ( m “I - 2) d) a m b .

Wurde dagegen

x m + a l x m ~ 1 + a 2 x m ~ 2 + • • ■ + a m - x x + a mnur mit x — b multipliciert und dieses Produkt gleich Null gesetzt,so wird, sofern über die Coefficienten a ganz frei verfügt werdenkann, die nunmehr entstehende Gleichung I'. keine zwei gleicheWurzeln x=b enthalten, dagegen durch x — b selbstverständlichtheilbar sein. Man behandelt sie genau so wie vorher die Gleichung I.Das Ergebniss ist alsdann eine neue GleichungII'. ax^ 1 + (ß + d) (a, — b) x m + (ß + 2d) ( a 2 — a, b) x” 1 - 1 + • • •+ (« + (Mi — 1) d) (fl m _i — a m -2b) x 2

— (« + mö ) a m -ibx — (ß + {in + 1) d) a m b = 0,

deren Gleichungspolynom nicht durch x — b theilbar ist. Die Aus-führung der Division lässt nämlich gleich in den Anfangsgliedern desQuotienten

ax m + ((ß + d)«, — öb)x m -' -f ((ß -f- 2ö)a 2 — d a t b —db 2 )x m ~ 2 -|-

erkennen, dass der Coefficient jeder folgenden Potenz von x immerlänger wird. Er besteht bei x m aus einem, bei x m ~ l aus zwei, bei x°aus m + 1 Theilen, und diese können mit — b multipliciert unterkeinen Umständen — (ß + {m + 1) d) a m b liefern, d. h. die Divisiongeht nicht auf.

Fermats Namen in der Geschichte der algebraischen Unter-suchungen auftreten zu sehen wird Niemand in Verwunderung setzen.Es sind zwei hochbedeutende Aufgaben, welche er sich stellte, undwelche er mit einander in Verbindung brachte. Die erste ist diedes Rationalmachens von Gleichungen. 1 ) Fermat erläutert

•) Fermat, Farta Opera pag. 60 und in der neuen Ausgabe der Oeuvres deFermat (Paris 1891) 1, 181—188. Die Darstellung in Klügels MathematischemWörterbuch II, 953 ist ganz ausnahmsweise durchaus mangelhaft.