Zahlentheorie. Algebra.

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zwar sein Verfahren nur an einem einzelnen Beispiele, aber es ist somethodisch, dass es als Muster für das Verfahren auch in jedem an-deren Falle dienen kann. Wir benutzen bei der Darstellung gleichFermat lateinische Initialen, A als Unbekannte, B , D als bekannteGrössen, aber ungleich Fermat wenden wir Wurzelzeichen, Exponentenund Gleichheitszeichen an. Die Gleichung

j/-2A 2 — Ä 3 + j/A 3 + B- A = I)\

sei also von den Assymetrien, wie die Irrationalitäten nach Vieta’sVorgänge genannt werden, zu befreien. Man bringt eine Wurzel-grösse z. B. j/2 A 2 — A 3 allein auf eine Seite des Gleichheitszeichensund ersetzt sämmtliche andere, auf der entgegengesetzten Seite des

Gleichheitszeichens vorhandenen Wurzelgrössen (hier nur die einzige

.. _

YA 3 -f- B 2 A) durch einfache Buchstaben. Man gewinnt also zweiGleichungen

frA 3 + B 2 A = E und j/2 A 2 — A 3 = I) -E.

Wäre etwa noch eine dritte Wurzelgrösse vorhanden, welche mit Ibezeichnet würde, so käme als dritte Gleichung die Definitions-gleichung von I hinzu, während in der zweiten Gleichung ein weiteresGlied — I zur Rechten aufträte. Sämmtliche nunmehr vorliegendeGleichungen lassen durch einfache Potenzerhebung sich rationalisieren.In dem gegebenen Falle genügt die Erhebung auf die 3. Potenz,welche folgende zwei neue Gleichungen liefert:

A 3 + B 2 A = E 3 , 2 A 2 — .43 = D 3 — 3D 2 E + 37) E 2 — E 3 ,

und die Aufgabe ist somit gelöst, wenn zwischen diesen Gleichungendie Hilfsunbekannte E eliminiert werden kann. Das Rationalmacheneiner Gleichung, innerhalb deren n Irrationalgrössen auftreten, istfolglich auf eine durchaus andere Aufgabe zurückgeführt, auf die derElimination von n — 1 Unbekannten zwischen 11 Glei-chungen höheren Grades. Diese zweite Aufgabe behandelt Fer-mat gleichfalls methodisch, allerdings zunächst unter der Voraus-setzung n — 2, also so dass, wie in dem angeführten Beispiele, eineUnbekannte zwischen zwei Gleichungen wegzuschaffen ist. Er ver-fährt dabei folgendermassen:Die Gleichungen werden so geschrieben,dass alle Glieder, welche die zu eliminierende Grösse enthalten, aufder einen, alle, welche sie nicht enthalten, auf der anderen Seite desGleichheitszeichens stehen. Division mittels der die zu eliminierendeGrösse nicht enthaltenden Gleichungsseite bringt jede der beidenGleichungen auf die Form, dass die Einheit einem Ausdrucke gleichkommt, welcher die zu eliminierende Grösse als heraustretenden Faktor

') Varia Opera pag. 58—59. Oeuvres T, 181 — 184: Nova secundarum et ulte-rioris ordinis radicum in analyticis usus.