Geometrische Gleickiuigsauflösungen. Analytische Geometrie.

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2., 3., 4. und 5. Wurzeln enthält. Er habe, sagt er dabei, nicht zögernwollen mit der Uebersendung seiner Älcthode generale pour le debrouille-ment des assymetries. Damals waren also die betreffenden Abhand-lungen jedenfalls niedergeschrieben.

Kapitel LXXYII.

Geometrische Gleichnngsanflösnngen. Analytische Geometrie.

Bei Schilderung der algebraischen Leistungen der unserer Be-trachtung unterworfenen Zeit haben wir bisher eine Gattung vonUntersuchungen vernachlässigt, diejenigen, welche trigonometrischeund geometrische Lehren in den Dienst der Algebra stellen. Vietahatte bereits (S. 584) den irreductiblen Fall der kubischen Gleichungentrigonometrisch behandelt. Es müsste Staunen erregen, wenn Männer,wie die von uns in diesem Abschnitte behandelten, die aus Vieta’sSchriften die mannigfachste Anregung geschöpft haben, gerade an diesenDingen vorbeigegangen wären.

Girard in seiner Invention nouvelle cn l’algcbre löst die Gleichung

x 3 = 13 z-j- 12 geometrisch wie folgt (Figur 139). Mit j/^. a ls Halb-messer wird um II als Mittelpunkt ein Halbkreis beschrieben. Dannwird 1 2\-^ — FG aufgetragen, welchesimmer möglich sei, und der BogenGK mit Hilfe einer Hyperbel (dennmit Zirkel und Lineal gehe es nicht)in drei gleiche Theile GJ, JL, LKgetheilt; FL ist alsdann eine Glei-chungswurzel. Wird wieder um II mitKL als Halbmesser ein Kreisbogen be-schrieben, der FL in 31 und N schneidet, so seien — FN und — F3Idie beiden anderen Gleichungswurzeln. Ein Beweis, den Girard kaumandeutet, lässt sich ziemlich leicht herstellen. Die Gleichung heisse

x 3 — px -f- q , und es sei j ^ j der Halbmesser r des Halbkreiseswird von der Länge j/~^ gewählt und FG = q •, — <2r unter

Voraussetzung der angegebenen Ungleichung, so dass man die Richtig-keit der Bemerkung erkennt, FG, welches kleiner als der Durch-messer ist, könne als Sehne eingezeichnet werden. Nun heisse derWinkel GFK = 3<p, der Winkel LFK — cp. Es istFG = 2r . cos 3<p, FL = 2r . cos cp .

Aber

demnach

cos 3 cp = 4 cos cp 3 — 3 cos cp ,