736

Kapitel LXXVII.

und folglich

i r G = 2 /f (4

3 cos cp)

6 cos cp).

Nun ist weiter

3 FL

6 cos cp

8 cos <p [

Die gefundene Gleichung geht dadurch in q = FL 3 —p . FL über,woraus FL = x ersichtlich ist. Zieht man die bei Girard nicht vor-handene Hilfslinie HQ | KL, so ist leicht abzuleiten

— FM = 2 r . cos (120» — cp) , — FN = 2 r . cos (120° + <p) ,

wodurch auch diese Wurzelwerthe sich rechtfertigen.

Nur sehr unwesentlich verschieden ist die Figur, unter deren Zu-grundelegung (Figur 140) Franciscus van Schooten eben jene

Gleichung x 3 = 13a: + 12, von welcherer sagt, dass er sie Girard entlehne,zur Auflösung bringt. 1 ) Der Kreishalb-

F P

messer FH ist wieder j/^t die Sehne

FG wieder der Kreisbogen GK ist

in die drei gleichen Theile GJ=JL=LKgetheilt und sodann FL = x gezogen.Neu ist aber, dass nunmehr das gleich-seitige Sehnendreieck LMN mit L alsEckpunkt gezeichnet wird und dadurchdie Sehnen FM, FN zur Konstruktiongelangen, welche negativ genommen die

L K

Fig. 140.

beiden anderen Gleichuugswurzeln sind. Auch der Beweis ist beiVan Schooten anders angelegt als bei Girard, nämlich alterthümlicher.Von irgend trigonometrischen Funktionen ist nicht Gebrauch gemacht,vielmehr sind noch weitere Hilfslinien gezogen, welche ähnliche Drei-ecke hervorbringen, und dann führen die Proportionalitäten ent-sprechender Seiten zu dem gewünschten Ergebniss.

Auch die Auflösung einer kubischen Gleichung mittels der Durch-schnittspunkte eines Kreises mit einer Parabel fehlt nicht in dieserLitteratur. Descartes hat sie gelehrt 2 ) und Van Schooten hatin seinen Erläuterungen gezeigt, 3 ) dass die Durchschnittspunkte einesKreises mit einer Hyperbel zum Auffinden der Wurzeln einer voll-ständigen kubischen Gleichung führen, ohne dass man genöthigt wäre,

') Descartes, Geom. Appendix de cubicarum aequationum resoluticme I,345—368, vergl. namentlich pag. 349. z ) Ebenda I, 85—95. 3 ) Ebenda I, 327.