Geometrische Gleichungsauflösungen. Analytische Geometrie.

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allerdings so wenig seinen Ausgangspunkt, dass sie sich sogar nirgendbei ihm ausdrücklich ausgesprochen vorlindet; man muss sie da unddort aus seinem Verfahren herauslesen. Sein Gedankengaug ist viel-mehr folgender:

Das I. Buch beginnt mit der Behauptung, jede geometrischeAufgabe laufe darauf hinaus, eine Anzahl von Strecken zu kennen.Eine solche, an sich beliebig, muss dabei als Einheit angenommenwerden. 1 ') Buchstaben, welche alsdann für einzelne Strecken gewähltwerden, können in Ausdrücken in gleichen Dimensionen, aequemidtissempcr dimensionibus , Vorkommen, aber nothwendig ist es nicht,weil die Einheit immer zur Erklärung zur Verfügung steht, ubiquesubintelligi potest, wo sich zu viele oder zu wenige Dimensionen finden.Ist z. B. aus a 2 b 2 — b die Kubikwurzel zu ziehen, so muss man sichdenken, a 2 b 2 sei einmal durch die Einheit dividiert, b zweimal mitderselben multipliciert. 2 ) Mittels der für die Strecken eingesetztenBuchstaben, seien es Stellvertreter bekannter oder unbekannter Werthe,sind nach den Bedingungen der Aufgabe Gleichungen herzustellen,so viele an der Zahl, als Unbekannte Vorkommen. Werden, trotzdemnichts in der Aufgabe Enthaltene vernachlässigt wurde, weniger Glei-chungen als Unbekannte gefunden, so dient solches zum Beweise,dass die Aufgabe keine durchaus bestimmte ist. 3 ) Nun werden zu-nächst bestimmte Gleichungen zweiten Grades constructiv mittels desKreises und der Geraden gelöst, dann wird der Uebergang zur erstenunbestimmten Aufgabe gemacht, zur sogenannten Aufgabe desPappus. Sie besteht (Bd. I, S. 384) darin, den geometrischen Orteines Punktes von der Beschaffenheit zu finden, dass, wenn man vonihm Linien unter gegebenem Winkel nach gegebenen Geraden derEbene zieht, das Produkt gewisser dieser Verbinduugsgeraden zu demProdukte aller übrigen in einem gegebenen Verhältnisse stehe. Des-cartes behandelt sie nach seiner Methode. Er findet, dass, wenn aufeiner der gegebenen Geraden ein Anfangspunkt A gewählt wird, dervon dem Durchschnittspunkte B mit der nach dieser Geraden ge-zogenen Verbindungslinie CB von der Länge y die Entfernung x be-sitzt, alsdann sämmtliche übrige Verbindungslinien Längen besitzen,welche aus drei Theilen bestehen, einem Vielfachen von y, einemVielfachen von x und einem nur Bekanntes enthaltenden Theile,jeder bald positiv bald negativ. 4 ) Daraus folgt aber, dass, wenn 2noder 2n — 1 Gerade gegeben sind, die Produkte von n oder n — 1Verbindungslinien den w len Grad nicht übersteigen und damit den Gradder entstehenden Gleichung bedingen. Bei 5 Geraden ist eine Glei-chung 3. Grades zu erwarten. Nimmt man dabei y als bekannt an,

') Descartes, Geom. 1, 1: quae vocetur unitas ut eo conmodius ad numeros

referatur, quamque communiter pro libitu assumere licet. 2 ) Ebenda I, 3.

3 ) Ebenda I, 4. 4 ) Ebenda I, 14.

Cantor, Geschichte der Mathem. II.

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