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Kapitel LXXVIII.

noch Anderes ausser den Indivisibilien, so muss jenes Andere zwischenden Indivisibilien liegen. Wir haben also ein Continuum, welches inBestandtheile von noch unbestimmter Anzahl zerlegbar ist, dissepara-bile in qnaedam, quae continuum componunt, numero adhuc indefinita .Zwischen je zwei Indivisibilien muss Etwas von jenem Anderen liegen,welches ausser den Indivisibilien zum Continuum gehört, denn der-selbe Grund, welcher es zwischen irgend zwei Indivisibilien aufhebt,hebt es zwischen allen anderen auf. In diesem Falle aber können wirContinuen oder Räume wieder nicht mit einander vergleichen, weileben das Zusammenzufassende und zusammengefasst zu Vergleichende,nämlich was das Continuum bildet, der Anzahl nach unbestimmt ist.Nun ist doch unerhört zu sagen, in Grenzen eingeschlossene Conti-nuen seien nicht vergleichbar, mithin ist auch unerhört zu sagen, dieZusammenfassungen der Gesammtheiten der Geraden oder Ebenenzweier Raumgebilde seien nicht vergleichbar, wenn auch das Zu-sammengefasste in seiner Anzahl unbestimmt ist, weil dieses der Ver-gleichung der Continuen nicht im Wege stellt. Mag demnach dasContinuum oder mag es nicht aus den Indivisibilien bestehen, dieZusammenfassungen der Indivisibilien sind mit einander vergleichbarund stehen in einem Verhältnisse.“ Sehr deutlich wird man dieseweitschweifige Begründung nicht nennen wollen, weil sie, wie wirschon oben betonten, gerade das nicht sagt, was zu wissen vorzugs-weise noth wendig wäre, nämlich was Cavalieri unter Indivisibilienverstehe. Und doch stützt er auf das Verhältniss der im Unklarenverbleibenden Gesammtheiten seine ganze Lehre. „Um das Verhält-niss zweier ebenen oder räumlichen Gebilde kennen zu lernen, heisstes nur wenige Seiten später, 1 ) genügt es, das Verhältniss der Ge-sammtheiten der von irgend einer Regula aus beginnenden Geradenoder Ebenen zu finden. Das ist das Fundament, welches ich diesermeiner neuen Geometrie zu Grunde lege.“

Wie geht nun diese neue Geometrie zu Werke? Im 15. Satzedes II. Buches 2 ) soll bewiesen werden, dass der Inhalt ähnlicher ebenerRaumgebilde sich verhalte, wie die Quadrate gleichliegender Seiten.Bei beiden Figuren werden einander entsprechende gegenüberliegendeBerührungslinien, bei beiden einander entsprechende der Regulaparallele Gerade gezogen, deren Länge proportional sein muss derLänge entsprechender Zwischengeraden in einander ähnlichen Drei-ecken, die jeweils zwischen den beiden Paaren gegenüberliegenderBerührungslinien liegen. Die Gesammtheiten der Geraden der Figurenverhalten sich also wie die Gesammtheiten der Geraden der Dreiecke,die Figuren selbst wie die Dreiecke. Dass aber ähnliche Dreieckesich wie die Quadrate gleichliegender Seiten verhalten, wird alsdann

') Indivisibilien pag. 1X5. Corollarium. *) Ebenda pag. 127—131.