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Kapitel LXXV1II.

gemacht, dass sie zur Ableitung des Archimedischen Satzes von derGleichheit der Kugeloberfläche mit der vierfachen Fläche des Grössten-kreises nicht ausreiche. Die Richtigkeit dieses Vorwurfes gestehtCavalieri unbedingt zu.'-) Den Flächeninhalt gekrümmter Oberflächenkönne er mittels Iüdivisibilien nicht entdecken, das sei wahr, aber,fragt Cavalieri weiter, einen Gegenvorwurf aus seinem Eingeständ-nisse bildend, reiche denn etwa Guldins vielgerühmte Schwerpunkts-benutzung aus, jene Aufgabe zu bewältigen? Auch die ganze Schluss-weise der Lndivisibilien hatte Guldin bemängelt. Die Gesammtheitder Geraden einer Figur sei eine Unendlichkeit, die der Geraden einerzweiten Figur gleichfalls eine Unendlichkeit; zwischen Unendlich-keiten finde aber ein bestimmtes Verhältniss nicht statt. Ganz richtig,erwidert Cavalieri, 2 ) wenn einfach von Unendlichem die Rede ist,woher es nur immer stamme, unrichtig aber, wenn von Unendlichemgesprochen werde, welches mit Beziehung auf ein Eudliches in Ver-hältnisse eingehe. Diese Bemerkung ist ungemein interessant, da siezeigt, dass Cavalieri mit Bezug auf Unendlichgrosses denselben Unter-schied zu machen wusste, der etwa zwischen einem Rechnen mitDifferentialien und einem solchen mit Differentialquotienten besteht.Endlich bringt Cavalieri selbst eine Schwierigkeit zur Rede, die Guldin,wenn er denn doch die Methode der lndivisibilien bemängeln wollte,hätte hervorheben können, die ihm aber entgangen sei. 3 ) (Figur 150.)

Die zwei ungleichen rechtwinkligenDreiecke ADH und GDH sollen mitder gemeinsamen Kathete DH an-einanderhäugen. Zieht man KM undJL der Grundlinie AG parallel, sozeigt sich KB = MF, JC=LE, kurzjeder HD parallel gezogenen Geradenin ADH entspricht eine ihr gleichein GDH ; dieGesammtheiten derselbenmüssen also gleich sein, d. h. die un-gleichen Dreiecke zugleich auch gleich sein. Das wäre doch wenigstensein Einwurf von scheinbarer Gefährlichkeit gewesen, aber freilich auchnur scheinbar, weil die Geraden DK, CJ, DH nicht in derselbenEntfernung von einander auftreten wie die FM, FL, DH, was in derersten Abhandlung 4 ) ausdrücklich als nothw r endig hervorgehoben sei(S. 768).

In den lndivisibilien, in den drei ersten Abhandlungen der Exer-citationes war die Beweisführung eine ungewohnte, aber bis auf ver-hältnissmässig geringe Ausnahmen waren die Ergebnisse bereits be-kannt, und man konnte fast als Vorwurf äussern, was Cavalieri in

') Kxercitatim.es Geometricae pag. 194—195. *) Ebenda pag. 202 . 3 ) Ebenda

pag. 238—239. 4 ) Ebenda pag. 17, Nr. XV.

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Fig. 150.