Infinitesimalbetracbtnngen. Kepler. Cavalieri.
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der III. Abhandlung einmal zu Gunsten seiner Methode sagte, 1 ) mankönne Alles, was er mit Hilfe von Indivisibilien zeige, auch in dieSprache Arckimeds übersetzen, wenn man Umschweife nicht scheue.Wesentlich neu dagegen war der Inhalt der IV. Abhandlung. Wirhaben (S. 764) gesagt, das was Cavalieri von der Gesammtkeit derQuadrate eines Dreiecks behaupte, sei in den Zeichen heutiger Mathe-matik in üebereinstimmung mit
a
fWx* , kaV
u
In der gleichen Zeichensprache heisst der Gegenstand der IV.Abhandlung:
J
k b n x n
dx =
kab n« + 1
Cavalieri sprach die von ihm entdeckte Wahrheit zuerst 1639 alsletzte Aufgabe seiner in Bologna gedruckten Centuria di varii prdblemiper dinwstrare l’uso e la facilita dei logaritmi nella Gnomonica, Astro-nomia, Geografia aus. In den Exercitationes erzählt er dann, 2 ) wieer zu dem Satze gekommen sei. Eine Aufgabe aus Keplers Dolio-metrie veranlasste ihn, die Gesammtheiten der vierten Potenzen derGeraden eines Parallelogrammes und des halb so grossen Dreiecks inVerhältniss zu setzen, wobei er 5 : 1 fand. Er erinnerte sich, dassdie Gesammtheiten der Geraden selbst und die ihrer Quadrate in dengleichen Figuren den Verhältnisszahlen 2 : 1 und 3 : 1 gehorchten.Um keine Lücke zu lassen, untersuchte er noch die Gesammtheitender Würfel eben jener Geraden und fand ihr Verhältniss 4:1, undnun begriff er bewundernd, ita nt deniqne non sine magna admirationecompyr ehender im, dass jenes Zahlengesetz sich der natürlichen Zahlen-reihe entsprechend fortsetze. Die Richtigkeit der Verallgemeinerunghat Cavalieri niemals bewiesen. Die ersten Einzelfälle dagegen sindvon ihm streng durchgearbeitet worden. Er stützte sich dabei zumTheil auf folgende von ihm erkannten Identitäten: 3 )
a 2 +F 2 = 2(^±- 6 ) 2 + 2( a 7 A ) 2 ,
«»+*• = 2(“^) :, + 6(°+ b )(“7 6 ) 2 ,
«4 + v = 2 («+ b y + 2 ( a 7 y + 12 ( a + b y ( a j b y .
Wir entnehmen ihm den Gang des Beweises für das Verhältniss 4:1der Gesammtheiten der Würfel der Geraden im Parallelogramme undim Dreieck. 4 ) Zunächst seien einige Zeichen erklärt, welche bei
*) Exercitationes Geometricae pag. 23 . 5 . 2 ) Ebenda pag. 243 — 244 .
3 ) Ebenda pag. 269 - 271 . 4 ) Ebenda pag. 273 — 274 .