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Kapitel LXXVIII.

Cavalieri, wie wir fast übertliissigerweise bemerken, nicht Vorkommen,deren wir uns aber zur Abkürzung bedienen wollen (Figur 151). Umdie Summe der n Potenzen aller Geraden in einergegebenen Figur zu bezeichnen, schreiben wirA/-das Summenzeicheu vor die n ie Potenz einer Ge-

raden und über das Summenzeichen die Figur,auf welche die Summierung sich bezieht. Mithin

ACDF

ist ^ AF 3 — Summe der Würfel aller Geraden

Fig. 151.

im Parallelogramme ACDF, und dafür kannman, weil im Parallelogramme die Geraden sich nicht ändern, auch

ACDF ACF

AF- I AF 2 schreiben. Ferner ist NH 3 = Summe der Würfel

aller Geraden im Dreiecke ACF u. s. w. Sind Produkte wie NH . HEzu summieren oder ähnlich gebaute, deren erster Faktor dem DreieckeACF, der zweite dem Dreiecke CDF angehört, so schreiben ivir dieFigur, über welche hier der erste, beziehungsweise der zweite F'aktorzu nehmen ist, oberhalb beziehungsweise unterhalb des Summenzeichens.

JCF

NH . HE 2 bedeutet also: solche Produkte Wi/ . HE 2 sollen durch

CDF

das ganze Parallelogramm ACDF derart gebildet werden, dass derlineare F'aktor immer dem Dreiecke ACF, der quadratische demDreiecke CDF angehört. Nach der Formel

(o -f- b) 3 = o 3 -j- b 3 + 2>a 2 b -f- 3ab 2ist nun leicht ersichtlich

ACF AUF

ACDF

ACF

^AF 3 = ^NH 3 +^HE 3 +3^NH. HE 2 + 3 2 NH2 • IlE •

CDF CDF

Andererseits

ACDF ACDF

2 -I*’ 3 = AE^AF 2 ,

und da

ACDF CDF

2 AF 2 ^'i^HE 2 ,so ist ein zweiter Werth von

ACDF CDF A ££I ACF * 2 DF

2 AF 3 =dA F^HE 2 ^]? NE-HE 2 =3^NHHE 2 +'d^HE 3 .

CDF

ACDF

Die beiden Werthe von ^]äF z sind einander gleichzusetzen, und das

ACF

beiden gemeinsame 3 NH • IIE 2 fällt dabei weg. Es bleibt:

CDF