Descartes. Fermat.

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aufgehört hat, die Mathematiker zu beschäftigen, der Tangenten-aufgabe.

Descartes fasste sie etwas anders auf: fiir ihn war es die Nor-male nauf gäbe;') er suchte solche Gerade, welche gegebene Curvenoder, was ihm für das Gleiche gilt, deren Berührungslinien in gegebenenPunkten rechtwinklig durchsclineiden. Er sagt eine allgemeine Auf-lösung dieser Aufgabe zu und scheut sich nicht, es auszusprechen,sie sei die nützlichste und allgemeinste nicht bloss von denen, die erkenne, sondern die er jemals innerhalb der Geometrie zu kennen ge-wünscht habe. 2 ) Der Gedanke Descartes’, wenn auch natürlich nichtder Wortlaut seiner Darstellung, ist folgender 3 ) (Figur 152). DieNormale an die Curve Ali mitder Gleichung F (x, ?/) = 0 imPunkte M sei MN. Um N alsMittelpunkt wird mit einem be-liebigen Halbmesser r ein Kreis-

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Fig. 152.

bogen beschrieben, welcher diegegebene Curve in den PunktenM l und il/ 2 schneidet. DieseDurchschnittspunkte muss manmit Hilfe der Curvengleichungeinestheils, der Kreisgleichunganderntheils finden können, d. h. deren Ordinaten il /, 1\ , il/ 2 P 2 müssenals die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sich ergeben, in welcherr gleichfalls vorkommt. Fallen die beiden Durchschnittspunkte M,und ü/ 2 in M zusammen, d. h. wird der Kreis zum Berührungskreise,so bleibt die erwähnte quadratische Gleichung immer noch bestehen,aber mit zwei identischen Wurzeln. Die Bedingung dafür, dasssolches stattfinde, muss darin bestehen, dass die linke Seite der Glei-chung die Gestalt besitzt, welche aus der Multiplikation von y — e mitsich selbst hervorgeht, 4 ) also?/ 2 —2 ey~\-e 2 , und dieses erzwingt mandadurch, dass r einen gewissen Werth annimint. Kennt man diesen,so kennt man MN, also die gesuchte Normale.

Als Beispiel mag die Parabel y 2 — ax gewählt werden. Abscissevon N sei z, so ist die Gleichung des um N mit dem Halbmesser r

beschriebenen Kreises (x — z ) 2 -(- y 2 — r 2 . Man ersetzt x durch ^,

so wird (^- z ) -f- y 2 = r 2 , beziehungsweise

y* — 2 (az — ±)if = a 2 (r 2 — z 2 ),

') Descartes, Geom. I, 40sqq. *) Nee verebor dieere, Problema hoc, nonmodo eorum, quae scio, utilissimum et generalissimum esse; scd etiam eorum, quaein Geometria scire unquam desideraverim. 3 ) Schon Montucla II, 130—131hat die Methode gut erfasst. 4 ) Descartes, Geom. 1,45 lin. 24—28.