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Kapitel LXXIX.

folglich

y 2 = as — y + « y r 2 + y — as ,

und ein einziges positives y erscheint nur, wenn r 2 -|- — az = 0,

a*

r 2 = as — —■ ist. Der Berührungskreis hat folglich die Gleichung

a t

(x — s) 2 -f- y 2 = as -—, während der Berührungspunkt als Punkt der

Parabel die Gleichung y 2 =ax bedingt. Man erhält also als weitere Um-formung s 2 — 2 (x + ”) s -f- (x -f- = 0, s = x -|- ® und damit

den Punkt N.

Descartes blieb bei dieser Darstellung seiner Methode nicht stehen.In einem Mitte Mai 1638 geschriebenen Briefe deutete er noch eineetwas andere Einkleidung des gleichen Gedankens an, 1 ) d. h. des Ge-dankens, die Auffindung der Berührungslinie einer Curve mit demVorhandensein identischer Wurzeln einer Gleichung in Zusammen-hang zu bringen (Fig. 153). Von der^ Berührungslinie MT als gegeben aus-

gehend zieht er von M noch nach einemanderen Punkte S der Abscissenaxeeine Gerade MS, und diese schneidetdie Curve in einem Punkte M t . DieGleichung der Curve und die Lage voniS auf der Abscissenaxe müssen genügen,um die beiden Ordinaten MF und M t F x zu Wurzeln einer Gleichungzu machen, welche nur dann identisch werden, wenn S nach T fällt.So ist die Lage dieses Punktes, ähnlich wie in der Geometrie dievon N, von dem Verschwinden einer gewissen Wurzelgrösse abhängig.

Fig. 153.

Descartes hat noch ein anderes Problem der Curvenlehre in seinerGeometrie und in nachgelassenen Papieren b.erührt, das der Recti-fication von Curven. In der Geometrie 2 ) spricht sich Descartesin ganz negativer Weise über diese Aufgabe aus. Ein Verhältnisszwischen geraden und krummen Linien ist, sagte er, nicht bekanntund wird Menschen nicht bekannt werden. In seinem Nachlasse da-gegen findet sich eine Methode, 3 ) um in beliebiger Annäherung zwarauch keine Rectification, aber das Entgegengesezte derselben, eineArcufication einer gegebenen Strecke zu liefern (Figur 154).Es handelt sich um die Auffindung des dem Quadrate abkf isoperi-metrischen Kreises. Zur Abkürzung und Vermeidung von Missver-ständnissen bezeichnen wir die Fläche eines Rechteckes durch zweieinander gegenüberliegende Eckpunkte desselben mit einem Horizontal-

') Oeuvres de Descartes (ed. Cousin) VII, 62—64. ! ) Descartes, Geotn.

1,40. 3 ) Oeuvres de Descartes (ed. Cousin) XI, 442—443.