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Kapitel LXXIX.

Das erste Beispiel Fermats verlangt B in zwei Theile zu zer-legen, welche das grösste Produkt geben, die erste Annahme wähltdie Theile A und B — A, die zweite A -f- E und B — A — E. Manmuss also A (B — A) = (A -f- E) {B — A — E) setzen oder0 = E(B - 2A - E).

Nach Division durch E entsteht B = 2 A -)- E. Nun elidatur E, sobleibt 2A=B, A = ±B.

Eine zweite Aufgabe 1 ) verlangt A 2 (B — Ä) zu einem Maximumzu machen. Die aufeinander folgenden Schritte der Auflösung sind:

A 2 (B - A) = (A + E) 2 (B- A — £);

E (2 AB — 3 A 2 + BE - 3 AE - E 2 ) = 0;2 AB — 3A 2 + E(B — 3A — E) = 0-,

2 AB — SA 2 — 0) A = ^B.

Als drittes Beispiel 2 ) entnimmt Fermat aus Pappus die Aufgabe, 3 )(Figur 156) eine Strecke 01), auf welcher zwei Punkte M, J gegeben

U M N j

Fig. 156.

nimuni soll alsoSchritte:

sind, in N so zu theilen, dass ein

. ’ ME.NJ

Minimum werde. Fermat setzt OM—B,

MD = Z, MJ = G, ME = A. Zum Mi-

— P PP ^ werden. Hier sind die einzelnen

{B -f A) (Z — A) _{B + A + E)(Z — A — E)

A{G - A) (A J r E)(G~ Ä — E) ~ ’

(B+A)(Z-A'iA+E)(G-A—E)={B+A+E){Z-A-E)A{G-A)E\liZ{G-E) + {BE+EG-EZ- 2BZ)A-\■ (G + B- Z)A 2 ] = QBZ(G — E) -\-{BE-\- EG-EZ-2BZ)A + (G + B-Z)A 2 =0(Z - B — G)A 2 + 2BZA = BGZ,

woraus endlich der Werth von A zu finden sei. Derselbe werde inUebereinstimmung mit der Behauptung von Pappus der Proportiongenügen: OM . MD : OJ. JD = MN 2 : NJ 2 . In der That schreibtsich diese Proportion mittels der eingeführten Abkürzungen

BZ : (B + G) • {Z - G) = A 2 : {G — Ä) 2 ,

und aus dieser folgt Fermats Gleichung.

Auf eine Begründung des Verfahrens darf man freilich sich nichtKechnung machen, und noch zwei Schwierigkeiten entgingen FermatsBeachtung, wie es scheinen möchte. Er unterschied nicht zwischengrössten und kleinsten Werthen. Er wusste nicht, dass der erste

') Varia Opera pag. 66. Oeuvres I, HO. 2 ) Varia Opera pag. 67.

Oeuvres I, 142. 3 ) Pappus (ed. Hultsch) pag. 756—758. Liber VII propo-

sitio 61.