Descartes. Fermat. 785
Differentialquotient den Werth Null annelmien kann, ohne dass einMaximum oder Minimum stattfände.
Einige dieser Maximalaufgaben Fermats und zugleich einige seinerTangentenbestimmungen sind durch Herigone in dem Supplc-mentum Cursus matheniatici in beiden Auflagen, der von 1042 undder von 1044, im Drucke veröffentlicht worden. 1 ) Wir wollen Fer-mats Verfahren bei Lösung der Tangentenaufgabe wieder in die Sprachespäterer Mathematiker kleiden.
Sei F(x, y) = 0 die Gleichung einer Curve, ihre proprietas speci-fica, wie Fermat sich ausdrückt. Sei M der Berührungspunkt mitden Coordinaten x y und P der Fusspunkt seiner Ordinate. Sei end-lich MT die Berührungslinie, PT mithin die Subtangente A, aufderen Auffindung es ankommt. Ein M benachbarter Curvenpunkt M'mit den Coordinaten x\xj besitze den Fusspunkt P' der Ordinate,und P' stehe von P nur um das Stückchen E ab. Weil x\y undx y' Curvenpunkte sind, muss F(x, y) = 0 und F (x, y) — 0 sein.Ausserdem kann aber M' auch als Punkt der M T aufgefasst werden,so dass A MPT oo A M'P'T, und aus dieser Aehnlichkeit folgenBeziehungen zwischen x', y', E, x, y, A, welche, wenn manF(x, y)=F{x\ y')— 0 mit berücksichtigt, eine neue Gleichung0 (x, y, E, A) = 0 entstehen lassen, bei welcher E als Faktor her-vortritt. Durch ihn dividiert man die Gleichung, lässt sodann dieGlieder weg, welche nach vollzogener Division noch E enthalten, undgewinnt so endlich A = f (x, y).
Im einzelnen Falle nimmt das Verfahren, ohne dass der Grund-gedanke sich änderte, mitunter einen etwas verschiedenen Gang, wiewir an dem Beispiele der Cissoide 5 )kennen lernen wollen (Figur 157). Damitan den Punkt H der Cissoide die Be-rührungsliuie HF gezogen werden könne,soll HF — A berechnet werden. Als be-kannt wird vorausgesetzt AH=Z, DG = N,
HH — li, und angenommen ist HE=>E.
Ex proprietotc spccifica cissoidis weiss mau1) MD : HG = HG: DH und ähulicher-weise muss 2) NE:EG=EG:EO sein.
Weil aber 0 auch als Punkt der HF zubetrachten ist, muss weiter stattfinden3 ) EO : EF = H H: DF. Folgert man aus diesen Proportionen unternachmaliger Einführung der angegebenen Abkürzungen Gleichungen,denen wir die gleichen Ordnungsziffern geben, wie die Proportionen,
') Fermat, Oeuvres I, 171, Note 1. Auch Montucla II, 117 hat auf diesenAbdruck aufmerksam gemacht. 2 ) Fermat, Varia Opera pag. 69 — 70.
Oeuvres I, 159—161.
li
I) K F
Fig. 157.