Descartes. Fermat.

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ist. Die RD schneidet jene Mittellage des erzeugenden Kreises in 31,und dort ist die Berührungslinie 31A an den Kreis gezeichnet.Ausserdem ist von dem nahe bei D gelegenen Punkte E aus die ENparallel zur Grundlinie gezogen. Proprietas specifica der Cycloide ist111) — arc. C31 -|- Ml), eine Behauptung, von deren Wahrheit mansich leicht überzeugt. Nach heutiger Schreibweise ist, wenn P dieBezeichnung des Fusspunktes der Ordinate von 11 giebt und HP=x,CF = 2r, arc. MF — ra gesetzt wird, x — ru — r . sin «. Mithin ist

It 1) = HF — x — r {% — «) -f- r • sin « .

Dabei ist aber r (jt — a) = arc. CM, r . sin « = Ml), also die Fer-mat'sche Gleichungsform hergestellt. Die Abkürzungen, deren Fermatsich bedient, sind 1)E = A, DE=E (wie immer), DA = B, 31A—D,3ID—R, RD = Z, arc. COM = A T . Die erste Gleichung heisstalso 1) Z = N + E- Ferner ist

NE = arc. CO + OE = arc. CM — arc. 310 +OE,

und bei der Kleinheit von DE fällt arc. MO mit dem Taugenten-stück MV und zugleich OE mit VE zusammen. Es ist alsoN E = N - 31V + VE.

Da aus der Aelinlichkeit von Dreiecken HD : NE — DB : Eli folgt,so ist unter Einführung der schon gewonnenen Werthe

2) (N + Ii ) : (N — 31V + VE) = A : (A — E).

Aber 31V entspricht der Proportion 3IV : 31A = DE: DA und ist

jy

folglich 31V = ß • Die andere noch auszurechuende Strecke VEentspricht der Proportion VE : 31D — AE: DA und ist demnachVE — ^^ß—^ ■ So geht die Proportion 2) über in

{N + B) : (N — ^ + - {B ü E) ) = A:{A-E)

und diese zur Gleichung umgebildet liefert nach Wegschaffung desNenners B und Wegstreichung gleicher Grössen auf beiden Seitendie einfachere Form E{BA -j- DA — BN — BR) - 0. Man lässt

den Faktor E weg und erhält A = = ]++B uu ^ er

benutzung von 1). Nun ist beim Kreise nicht schwer zu beweisen,dass die Verbindungsgerade 31C den Winkel A31D halbiert, dassalso A31 : D31 = AC : CD. Daraus folgt A31: AC = D31: CD,ferner

{A31 + 31D) :{AC+ CD) = D31: CDoder (AM + 31D) :AD = D31:CD und = S ’ d ’ h ‘

i j£r- ^ = - D m* D - oder MD ■■ CD - R1): B1)

und das findet statt, wenn RB || 31C. Ersichtlich steht auf der MC