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Kapitel LXXIX.

die MF senkrecht. Dieser letzteren wird also die Normale an dieCycloide in B parallel laufen müssen, und das ist die Constructionvon Descartes, von welcher folglich die Fermats nur als eine Um-formung zu betrachten ist.

In der französischen Darstellung, welche wir vermuthungsweisein das Jahr 1638 verwiese« haben, ging Fermat in der Anwendungder gleichen Buchstaben für gleiche geometrische Dinge noch einenSchritt weiter. Er setzte 1 ) nicht bloss (Figur 159) ein für alle Maldie Subtangente BB = A, die Entfernung derOrdinate des Berührungspunktes von der benach-barten Ordinate BF = E, sondern auch die Or-dinate des Berührungspunktes BA = B und seineAbscisse (JB — I). Der Fusspunkt F der be-nachbarten Ordinate hat demnach die AbscisseI) — E und sie selbst bis zum Durchschnitts-punkte mit der Berührungslinie gehorcht der Pro-portion FE: (A — E) = B : A, ist also regel-mässig FE — AB .BE und „wird immer so, wie hier geschehen, ge-

Fig. 159.

nannt werden. 2 ) Ist dieses geschehen, fährt Fermat fort, so ist gewiss,dass der Punkt E der FE, weil er auf der Tangente liegt, ausser-halb der Curve sich befinden wird, und daher wird die FE grösseroder kleiner als die bis zur Curve reichende, von F ausgehendeOrdinate. 3 ) Sie ist grösser, wenn die Curve nach aussen gewölbt ist,convexe en dehors, kleiner, wenn die Curve nach innen gewölbt ist,convexe en dedcins, denn die Regel genügt für alle Curven und be-stimmt mit Hilfe der Gleichung der Curve, pur la propriete de lacourbe, nach welcher Seite hin sie gewölbt ist. Wenn nun auch dieFE der von F bis zur Curve gezogenen Ordinate ungleich ist, sobetrachte ich sie nichtsdestoweniger als ihr gleich und vergleiche siefolglich durch annähernde Uebereinstimmuug, par adaeqnation , mitder aus der Curvengleichung ermittelten FJ.“ Nach der Ableitungdes allgemeinen Werthes von FE und der Erläuterung seiner eigent-lichen Methode zeigt Fermat deren Anwendung 4 ) auf die Descartes’scheCurve B 3 + l) 3 = NBJD. Statt CF 3 + FJ 3 = N . CF . FJ wirdnäherungsweise richtig CF 3 + FE 3 — N. CF . FE gesetzt, d. h.

(B — E) 3 + = W(D - E)

AB-BEÄ “

Unter Wegschaffung der Brüche wird daun ausmultipliciert und links

') Henry 1. e. pag. 184 (XII, 658). 2 ) Et de quelque nature que soit la

courbe nous donneront toujours les rnimes noms aux lignes CE et FE que nousvenons de leur donner. 3 ) Fermat sagt überall l'appliquee, aber wir ziehenim Texte den jetzt gebräuchlichen Namen vor. 4 ) Henry 1. c. pag. 185—186(XII, 659—660).