Descartes. Fermat.

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A 3 B 3 -\-A 3 I) 3 gegen rechts NA 3 Bl) weggelassen. Weiter wird durchE dividiert, und dann erscheint

— 3A 3 D 2 — 3 A 2 B 3 + E (3A 3 D -f 3 Ali 3 — A 3 E — B 3 E)

= - NA 2 BB - NA 3 B + NA 2 BE.

Die Regel verlangt, Alles was noch mit E behaftet blieb, wegzulassen.So erhält man — 3A 3 U 2 — 3 A 2 B 3 = — NA 2 BD — NA 3 B, daraus

NBD — 3 B*

3 D 2 — NB

3AI) 2 + 3B 3 = NBD -f- NAB und endlich A =

Als grossen Vorzug seiner Methode gegenüber der von Descartesrühmt Fermat, 1 ) dass er die ursprüngliche Curvengleichung sofort be-nutze, ohne sie, was grosse Schwierigkeiten haben könne, und ver-wickelte Wurzelausziehungen erheische, nach der Ordinate aufzulösen.Dass man auch inverse Tangentenaufgabeu stellen könne, bemerktFermat gleichfalls, spricht sich aber nicht über die Möglichkeit derLösung solcher Aufgaben aus. 2 )

In der lateinischen Bearbeitung, welche, wie wir wissen, älter istund nach einer und derselben Methode Maximalaufgaben und Tan-gentenaufgaben umfasst, ist noch eine dritteGattung von Aufgaben behandelt, die derSchwerpunktsbestimmung eines Um-dreliungsparaboloides 3 )(Figur 160). DasParaboloid sei durch Umdrehung der ParabelCAV um ihre Axe AJ erzeugt, ein andereswenig kleineres durch Umdrehung der ParabelBAU um AN, wobei NJ — E ist. DerSchwerpunkt des ersteren Paraboloides seiin 0, der des zweiten in E, und A 0 = A.

Fermat dehnt nun einen von Archimed für die Parabel bewiesenenSatz 4 ) ohne Weiteres auf das Paraboloid aus, den S a tz> dass dieSchwerpunkte ähnlicher Paraboloide deren Axen in gleichem Ver-hältnisse theilen, dass also hier AO •. AE — AJ: AN oder in den

Abkürzungen A : (A — OE) = B : (B — E), woraus OE = —jf~-

Die Körperräume der beiden Paraboloide stehen im Verhältnisse derQuadrate ihrer Axen oder

vol. CAV: vol. BAR = AJ 2 : AN 2 = B 2 : (B - E) 2 ,

Ausserdem sei AJ=B.

woraus weiter

(vol. CAV— vol. BAIl ): vol. BAU = {B 1 — (B — E ) 2 ): (B — E) 2 .

') Henry 1. c. pag. 188 — 189 (XII, 662 — 663). J ) Ebenda pag. 189 (XII, 663):

On pourrait de suite chercher la converse de cette proposition, et la propriete dela tangente etant donnee, chercher la courhe, ä qui cette propriete doit convenir.

3 ) Varia Opera pag. 65—66. Oeuvres I, 136—139. 4 ) De planorum acqui-

lilyriis Liber II, propos. 7 in Archimed (ed. Heiberg) II, 210.

Ca>*tob, Geschichte der Mathcm. II, 51 v