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Kapitel LXX1X.

Der Unterschied vol. CA F— vol. B A 11 stellt aber den Umdrehungs-körper von CBRV dar, und dessen Schwerpunkt mag in M liegen.Vereinigen sich die Umdrehungskörper von CliliV und von BAR,so liegt deren gemeinsamer Schwerpunkt 0 von den einzelnen Schwer-punkten M und E derart entfernt, dass die Entfernungen den Körper-inhalten selbst umgekehrt proportional sind, d. h.

OM : OE = vol. BAR : vol. CBliV = (B — Ef : (2BE — E 2 )

und

(B — Ef .A.E{‘lBE — E l ).B’

(B - Ey

2 BE

indem man den vorher gefundenen Werth von OE einführt. Je kleinerE angenommen wird, um so näher muss M an J heranrücken, währendallerdings genau gesprochen OM<.OJ bleibt; OJ selbst ist —B — A.

(B — Ef.A. E

(yZBE — E z ) B >

In angenäherter Gleichung ist aber B

nun verfährt man nach der oft benutzten Regel. Wegschatfuug desBruches, Umstellung einiger Glieder, Division durch E liefert

2B' * i — B 2 E + 3ABE = 3 AB 1 -f AE*.

Endlich lässt man fort, was noch E enthält und hat nur noch2 JP = 3 AB 2 , mithin A = j B .

Wir haben uns soweit mit Fermats Untersuchungen, welche nachheutigem Sprachgebrauclie Anwendungen der Differentialrechnung zunennen sind, beschäftigt. Wir müssen seine Spuren auch in derIntegralrechnung verfolgen. Er hat hier der Aufgabe der Quadraturund der Rectification von Curven sich zugewandt.

Ein vor 1644 durch Vermittelung von Mersenne an Cavalierigeschicktes Schriftstück, 1 ) welches als Beantwortung Cavalieri-scher Fragen bezeichnet ist und demgemäss wohl in einem ge-wissen Zusammenhänge mit der IV. Abhandlung von Cavalieri’s Exer-citationes (S. 771) gestanden haben muss, wenn Cavalieri dort denNamen Fermats auch nicht genannt hat, giebt ohne Beweis Quadra-turen von Parabeln verschiedener Ordnung und Kubaturen von Um-drehungskörpern derselben, sowie Schwerpunktsbestimmungen ebendieser Körper. Theoretisch ungleich bedeutsamer ist Fermats AufsatzProportionis Geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyper-bolis usus 2 ) für die Lehre von den Quadraturen.

Fermat gründet sie auf einen sehr einfachen Satz von unend-lichen geometrischen Progressionen mit fallenden Gliedern. Einesolche besitze die Summe S, das Anfangsglied c und das zweite Gliedcq mit q < 1 , dann ist (c — cq ): cq = c : (S — c) oder in Worten:

') Fermat, Oeuvres I, 195—198. *) Varia Opera pag. 44—57. Oeuvres

I, 255—285.