Descartes. Fermat.

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Die Differenz der beiden ersten Glieder, aus welchen man das Gesetzder Progression ersieht, differentia terminorum progressioncm con-stitucntium, verhält sich' zum zweiten Gliede wie das erste zur Summe

c

aller nachfolgenden. Die Wahrheit des Satzes folgt aus S — l

Sei nun eine auf zwei zu einander senkrechte Asymptoten bezogeneHyperbel irgend welcher Ordnung gegeben, worunter Fermaterklärt verstehen zu wollen, dass irgend welche Potenzen der Abscissensich umgekehrt wie irgend welche Potenzen der Ordinaten verhalten,

a m + n

mithin Curven mit Gleichungen wie y m — - Im besonderen

° x n

Falle soll y = — sein. Die Aufgabe besteht darin, die zwischen der

Curve und ihrer Asymptote gelegene Fläche zu messen. Fermat zer-legt dazu diese Fläche in gemischtlinige Viereckchen, welche kleingenug sind, um als Rechteckchen betrachtet zu werden, als derenHöhe jeweils die links als Grenze dienende Ordinate gilt, und welcheüberdies einzeln genommen eine fallende geometrische Reihe dar-stellen, damit der obige Hilfssatz Anwendung finden könne. Solchesgeschieht, indem man die Grundlinien der ihrer Höhe nach rasch ab-nehmenden Rechteckchen zunehmen lässt. Die Zunahme erfolgt nachMaassgabe eines zweiten hier einzuschaltenden Hilfssatzes: heisst einesteigende geometrische Progression b, b (1 -f- ß), b(l -f- ß) 2 u. s. w.,so ist die Differenz irgend zweier unmittelbar auf einander folgenderGlieder das u fache des kleineren der beiden Glieder oderb (1 -f- ß) ,, + 1 — (1 -f- a)’’ = ß . b (1 -j- ß) v .

Nun seien (Figur IG 1) die von A aus gemessenen Abscissen die Glieder

C

v

P

A

0

m

R

G H

Fig. 161

einer solchen Reihe AG ■= x, AH = x(l -f- ß), AO = x(l + ß) 2 ,AM = x (1 -f- a) 3 , AR = x (^1 + ß) 4 u. s. w. Unter Anwendung deseben ausgesprochenen Satzes und unter Auswerthung der OrdinatenEG , JH, NO, FM, SR u. s. w. findet man:

GH = ux ,

HO = ccx (1 -(-«),

GII. EG

HO . JH

x' 1 (1 -p a)'

a-(l-f «)

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