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Kapitel LXXIX.

OM = «*(1 -f- «) 2 , NO —31It= ax(\ + a) 3 , FM =

05* (1 + «) 4 ’

a;* (1 + a)

OM.NO =

3111 . FM =

x (1 -f- «)*

X (1 -(- tt) 5

u. s. w.

Jedes folgende Rechteckchen ist mithin das

i + «

fache des vorher-

gehenden und der erste am Anfang ausgesprochene Hilfssatz ist an-wendbar: man hat nur c — aa und q = * zu setzen, dann be-

deutet S die bei EG beginnende Fläche. Die Proportion lautet als-dann

( «a 1 aa 3 \ _ aa 3 _ «a s /o aa 3 \

x a: (1 + a)' ‘ a: (l + aj x ’ ' x )

a 3

und aus ihr folgt S— — (1 + «). Die beanspruchte Möglichkeit, diegemischtlinigen Viereckchen als Rechtecke betrachten zu dürfen,nöthigt aber dazu, nicht etwa a — ^ zu wählen, wie es um der deut-licheren Zeichnung willen in unserer Figur geschah, sondern « soklein zu nehmen als man immer kann, und dann wird S= indem

' ai ’

aa-

x

verschwindet, evanescit et abit in nihüutn.

Neben Hyperbeln irgend welcher Ordnung werden auch be-liebige Parabeln der Quadratur unterworfen. Das Musterbeispielist die semicubische Parabel 1 ) (Figur 162), deren Definition in derProportion AB 3 : JE 3 — BC 2 : EC 2 enthalten ist. Die Curve er-scheint bei Fermat gegen die Axe CB coucav,während gewöhnlich C zwar auch Anfangspunktist, aber CB als Axe der Curve gilt, gegenwelche dieselbe alsdann convex erscheint. Fer-mat verfährt wie folgt, wenn wir seinen Schluss-folgerungen genau nachgehen und nur die Be-zeichnung etwas übersichtlicher machen. Ernimmt auf BC verschiedene Punkte, deren Ent-fernungen von C in der Weise abnehmen, dasssie eine fallende geometrische Reihe bilden, unddie so nahe bei einander liegen, dass gemischt-linige Vierecke wie ABEJ, wie EJNO nochals Rechtecke von den Seiten AB und BE, be-ziehungsweise JE und EN betrachtet werdendürfen. Indem er also etwa BC— a, VC=aq, RC=aq 2 ,...NC—aq r ‘ansetzt, nimmt er zwar q < 1, aber nur sehr wenig von 1 verschieden.Unter Benutzung dieser Werthe erkennt man sofort die Richtigkeitder Proportion BC 2 : EC 2 = BC 3 : RC 3 (d. i. a 2 : a 2 q 6 = a 3 : a 3 ,q 6 )-

rig. 162.

') Varia Opera pag. 48. Oeuvres I, 263.