Descartes. Fermat.
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Es war aber BC 2 : EC 2 = AB 3 : JE 3 , mithin ist
A B 3 : JE 3 = BC 3 : R(J 3 und 1) AB : JE = BC : EC.Ferner finden noch zwei Proportionen statt
2) BE : EN = BC : EC (d. i. (a — aq 3 ) : (aq 3 — nq 6 ) = a : aq 3 )
und
3) BC : EC = EC: TC (d. i. a:aq 3 = aq 2 : aq 3 ).
Aber auch zwischen den Rechteckchen ABEJ und JENO findeteine Proportion statt, welche unter allmäliger Anwendung von 1\2), 3) folgende Gestalt aunimmt:
ABEJ : JENO = AB .BE: JE. EN = BC 2 : EC . EC= EC . BC: TC . EC = BC : TC = 1 : q\und einem eben solchen Verhältnisse werden je zwei aufeinander-folgende Rechteckchen unterworfen sein, die somit eine fallende geo-metrische Reihe bilden, auf welche der erste llilfssatz Anwendungfindet, und dieser lautet hier
ABEJ : JECG = (BC — TC) : TC = BT : TC.
Daraus folgt weiter «
A BEJ: AB CJ= B T: BC=A B. BT: AB.BC= AB.BT-.ABCD,
also auch
A B CD: A B CJ = AB . B T :ABEJ = AB .BT \ AB. BE = B T: B E.
ln BT sind 5 einander nahezu gleiche Streckenelemente, in BE deren3, also verhält sich das Rechteck AB CD zur Fläche ABCJ wie5 : 3, und dabei ist 5 = 3-j-2 die Summe der Exponenten. Als all-gemeine Regel 1 ) findet man somit, dass wenn AB"‘:JE m —BC n : EC”,daraus AB CD : ABC J = (mn) :m folgt. Wir würden heute
a
; / ydx = (-^—Xlj)
J J M« + n J '(x — a)
o
sagen: aus y m = h m ~ n x^ folge
Es lässt sich nicht verkennen, dass die Art, in welcher Fermatmit nahezu gleichen Elementen umspringt, eine sehr kühne ist. Istdie Gleichung der Curve verwickelter Natur, d. h. steht nicht x n alleinmit constanten Coefficienten auf der ersten Seite, sondern
Jcm-^x’-i 4 - k 2
so verwandelt Fermat die einzelnen Theile dieser Summe in
• • • so dass y m = l m_1 (v, —« 2 -f- • • •) = l m ~ 1 v wird, undnun sind verschiedene parabolische Räume einfacher Natur zu qua-drieren.
') Varia Opera pag. 49. Oeuvres 1, 265: Canon vero universalis inde nullonegotio elicietur. Patet nenipe fore semper parallelogrammum BD ad figuramAJCB ut aggregatum potestatum applicatae et diametri ad expuneutem postestatisapplicatae.