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Kapitel LXX1X.
AB CT)
i’ig. 163 .
Nächst der Quadratur von Curven, für welche noch andere Um-formungen als die soeben angedeuteten in Kraft treten, hat Fermatauch mit Rectificationen sich beschäftigt. Die Abhandlung Delinearum curvanim cum lineis rectis comparationc ') erschien zu Fer-mats Lebzeiten 1660 im Drucke als Anhang zu einem Werke desAntoine de Lalouvere von Toulouse , dessen wir im LXXX1.Kapitelkurz zu gedenken haben. Schon am 25. Juni 1660 schickte Careavydas neu gedruckte Schriftchen au Huygens, 2 ) woraus man entnehmenmag, wie rasch es bekannt wurde.
Fermats Grundgedanke ist folgender (Figur 163). Es sei AH MGein Stück irgend einer gegen AF eoncaven Curve, eine Bestimmung,
welche Fermat in die Worte kleidet, dieTangente solle die AF und auch die FGausserhalb der Curve schneiden, in qua tan-gentes extra curvatn cum base AF et axeFG concurrant. Eine solche Tangente seiJHK und von J, H und K aus werdensenkrecht zu AF die JRD, HC, KMDgezogen, atsserdem von K aus die TangenteKN, sowie parallel zu .Ti'’ von J, H, Kaus die JX, HV, K Y. Fermat behauptet nun, es sei HJ< arc Hit,HK > arc HM. Das erstere folgt daraus, dass HJ der senkrechtauf VB aufsteheuden HV näher liegt als die Sehne HR, welcheseihst kleiner als der Bogen HR ist. Die zweite Behauptung folgtdaraus, dass HK -f- KN > arc HMN als denselben umfassend, dieeine Strecke KN < arc MN nach Analogie der ersten Ungleichung,also der Rest HK> arc HM sein muss. Nachdem diese Ungleichungen
feststehen, wird (Figur 164)eine und dieselbe Curve AFHzweimal gezeichuet. Auf ihrerAxe AG werden beliebig kleingewählte gleiche Stückchen ab-gemessen AB — BC= CD= DE = EF - FG und injedem Theilpunkte errichtetman eine Senkrechte bis zumDurchschnitte mit der Curve. Nun werden in der ersten Zeichnungin A, F, ... 0 Tangenten nach rechts, in der zweiten in F, .. .0, HTangenten nach links gezogen bis zum jedesmaligen Durchschnittemit der benachbarten Ordinate. Bei der gleichbleibeuden Entfernungje zweier ürdinaten ist ersichtlich FV= FV', TZ = TZ', ■■OJ=OJ'.Nur AQ in der ersten, HK in der zweiten Zeichnung treten ver-
*) Varia Opera pag 89—109. Oeuvres I, 211—254. *) Oeuvres de Huy ge n&
111,85.
A B C D E F G
A Ji C D EF G
l’ig. 164,