Descartes. Fermat.

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einzelt auf, und sie allein stören die volle Uebereinstimniung der inbeiden Zeichnungen zu bildenden Tangentensummen. Gleichwohl istvermöge der bewiesenen Ungleichungen:

AQ + PF-1- OJ> arc A H> PV' - \- OJ' + HK.

Bei der Nähe sämmtliclier Ordinaten kann aber unmöglich A Q umBeträchtliches von HK sich unterscheiden. Um so eher ist es dahergestattet, die eine oder die andere Tangeutensumme als Curvenläugezu benutzen. Das ist die allgemein gehaltene Vorbereitung, welchedie Möglichkeit einer Rectification darzuthun beabsichtigt.

Als besonderes Beispiel wird ^ Figur 165) wieder die semicubischeParabel AJM benutzt, bei welcher also, da AN die Axe der Curve,wie Fermat sie zu zeichnen pflegte, darstellt,die Proportion stattfindet

MN 3 : JF 3 = AN 2 : AF 2 oder iß = cx 2

E

K H G N

wo y die Ordinaten MN, JF , . . .,. x dieAbscissen AN, AF, . . . der Reihe nach be-deuten kann. Fermat bediente sich allerdingsbei der Rectification keiner Abkürzungen,sondern schrieb die Benennungen der ein-zelnen Strecken hin und ebenso eine StreckeAI) statt unseres c. In seiner Figur ist auch au MN noch jenseits4 4

N ein Stück NX = — AD — — c angesetzt. In J wird die Tan-gente JE gezogen und nach der Tangenteumethode die SubtangenteEF gesucht, welche als — x sich erweist, d. h. 2EA = AF. Mithin

ist EF 2 = - x 2 = j ^, während JF 2 = y 2 und JE 2 = iß + ^

ist, sowie JE = y J ,/1 + ‘ Wird statt der Länge JE der ganzen

Tangente bis zum Durchschnitte mit der Axe AN nur das Stück JObis zu dem Durchschnitte mit der sehr nahe bei JH verlaufendenVG gesucht, so wird J0 : JE = JQ -. JF zu benutzen sein. Darausfolgt _^ _

JO-§-JE^ a ß,j}/l + f e -Hoßx + ^

und

JO 2 y + TT c _ HXHG* 4 ~~ NX'

9 C

eine Gleichung, welche ohne weiteres als Proportion aufgefasst werdenkann. Es kommt aber darauf an, über die ganze Curve hin solche

Tangentenstückchen JO, beziehungsweise HG j /1 -(- zu sum-