Gregorins a. Sto. Vincentio. Wallis . Pascal. De Sluse. Hudde. VanHeuraet. 823
ecke wie 1 : 4 verhalten, was Cavalieri ausgesprochen hatte, so führtWallis den Beweis dadurch, dass er mehr und mehr 3. Potenzenganzer Zahlen von der 0 anfangend bildet und nun das gesuchteVerhältniss hei wachsender Anzahl der gewählten Glieder daraufprüft, ob wirklich 1 : 4 herauskommt. Er findet aber:o + i 1 | 1 0+1 + 8 l . 1 0+1 + 8 + 27 1 . l
1+1 4 ' 4 ’ 8 + 8 +'8 ~ 4 ' 8 ’ 27 + 27 + 27 + 27 _ 4 “r 12 ’
u. s. w. bis
0 + 1 + 8 + • • ■ + 216 1 . 1
216 + 216 + 216 + ■ • • + 216 4 24 ’
Der Bruch, um welchen 4 übertroffen wird, hat zum Nenner offenbar,ut patet, stets um 4 zunehmende Zahlen und wird stetig kleiner, sodass er endlich kleiner als jeder beliebige angebbare Werth w r ird, undwenn man bis ins Unendliche die Versuche ausdehnt, geradezu ver-schwindet. 1 ) Aehnlicherweise werde man, fährt Wallis in dennach-folgenden Lehrsätzen fort, die Verhältnisszahl bei der Summe 4., 5.,G. Potenzen finden; sie sei 1:5, 1:6, 1:7 u. s. f. Denn, sagt er,der Versuch zeigt, dass die durch Induction gefundenen Verhiiltniss-zahlen diesen stetig näher kommen, so dass der Unterschied kleinerals jeder angebbare wird, und bei Fortsetzung des Verfahrens ins Un-endliche verschwindet. 2 )
Man wird nicht verkennen, dass ein Stehenbleiben bei blosserInduction ohne Ableitung einer allgemeinen Formel, welche derselbenals Stutze dient, dass ein kühl ausgesprochenes patet, es ist offenbar,nicht mit den heutigen Anforderungen mathematischer Strenge inEinklang zu bringen sind. Man wird ebensowenig verkennen, dassWallis zur Anstellung seiner Versuche überhaupt erst überging, nach-dem, man darf sogar getrost sagen, weil er die zu erwartenden Er-gebnisse voraussah. Cavalieri, Fermat, Roberval, Torricellihatten mehr oder weniger unabhängig von einander gezeigt, dass,sofern m nur eine ganze positive Zahl war, das Verhältniss der Summeder m ten Potenzen der in arithmetischer Reihe wachsenden Zahlen zuder ebenso oft, als Glieder vorhanden waren, genommenen m len Po-tenz der grössten Zahl sich als 1 : (m -f- 1) erweise, und nun machteWallis nachträglich die hierdurch herausgeforderten Versuche!
Aber man wird ebensowenig Wallis das Verdienst absprechen,die heute noch übliche Form des Grenzübergangs er-funden zu haben. Das Wort, der Unterschied werde kleiner als
*) Cum autem crescente numero terminorum excessus ille super rationem sub-quadruplam ita continue minuatur, ut tandem quolibet assignabili minor evadatlut patet) si in infinitum procedatur , prorsus evaniturus est. 2 ) Ebenda I, 383,Prop. XLIII Lemma: Facto enim experimento patebit rationes inductione repertasad has continue propius accedere ita ut difj'erentia tandem evadat quavis assigna-bili minor; adeoque in infinitum continuata evanescet.
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