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Kapitel LXXX1.

jeder nur angebbare, quavis assignabili minor, hat erst das Verständ-nis einer Grenze als eines Werdenden zu erzeugen vermocht, undes würde hochbedeutsam hervortreten, wäre selbst Wallis im Uebrigenbei den schon bekannten Ergebnissen stehen geblieben.

Nun machte er aber über seine Vorgänger hinaus einen gewaltigenSchritt, indem er eine Kühnheit der Induction an den Tag legte,welche, au und für sich nicht gerechtfertigt, durch die ihr entnom-menen Ergebnisse die Entschuldigung des Erfolges gewinnt. Wenn

bei der »P en Potenz der Bruch - 1 . , , bei der in 4- 2n le " Potenz der

m + l ’ '

Bruch —p-J—j—bei der in + « ten Potenz der Bruch —,—5— ; —- auf-m-\-'2n+l’ ‘ wi + n-j-l

tritt, so ist m-\-n das arithmetische Mittel zwischen in und «j-f-2«

und gleichzeitig der Nenner in -(- n -(- 1 das arithmetische Mittel

zwischen den Nennern in -f- 1 und in -j-2n + 1. Das arithmetische

Mittel zwischen in + 1 und in -f- ti -f- 1 ist nun m -(- — -f- 1, fol«:l

lieh wird

der Bruch sein, welcher bei Untersuchung der

m + T + 1

m -f- ^ len Potenz (als Mittel zwischen m und in -f- n) entsteht, auchwenn n keine gerade Zahl ist, d. h. auch wenn es um Quadratwurzelnsich handelt, und ganz allgemein ist die Geltung der Verhältuisszahl1 :(»*-{- 1) davon unabhängig gemacht, ob in ganzzahlig oder nicht.

Bei in = ^ entsteht das Verhältniss 2:3; bei in = entsteht 3:4;

bei in — - 1 - entsteht 10:11 und so fort, 1 ) et sic deinceps. Sogar denFall, dass in irrational wird, schliesst der kühne Neuerer mit ein:Sin Index snpponatur irrationales, puta ]/'A , erit ratio ut 1 ad 1 -f- j/3etc., d. h. auch bei in = Y 3 ist die Proportion

h — n

^h m : n m + l = 1 : {in + 1)h — o

noch immer wahr!

Wie wird nun die Sache, wenn n aus den positiven Zahlen aus-scheidet? Wallis sagt nicht geradezu, es sei a~ l = —, d. h. er be-nutzt noch nicht negative Exponenten, so wenig er ausdrücklich

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ai = ya p schreibt, aber in seinen Schlüssen hat er dieses Bewusst-sein, welches, wie die Leser dieses Bandes wissen, durch Jahrhundertevorbereitet war, klar an den Tag gelegt. Wird m — — 1, so geht

- V in i oder oo über. Cum eniin priinus iertninus in Serie Fri-manorum, d. h. der ersten Potenzen der auf einanderfolgenden Zahlen,

') Wallis , Opern I, 390, Prnp. LTV.

*) Ebenda I. 395, Prop. LXIV.