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Kapitel LXXX1.

zuweichen, so ist die Flüche j des Kreisquadrauten vom Halbmesser 1

i

durch das Integral J // 1 — x' ! dx dargestellt, das Quadrat des Ilalb-

0

messers durch 1. Das Verhältniss dieses Quadrates zu jener Flächeist also

i i

4 : n = 1 :ßl — a; 2 )* tlx •

Jenes Integral ist aber enthalten in der allgemeineren Form

i i

,4 -

/ (1 — X l ) 2 dx

U

und nicht minder in der allgemeineren Form

J (l - x») 2 dx.

U

Aus der ersteren entsteht es durch A = 1, aus der zweiten durch(i = l, aus der noch zusammengesetzteren Form

j{ 1 - x*) T dx0

durch gleichzeitige Annahme von A = 1 und (i = 1. GeradzahligeWerthe von A gestatten die Potenzierung unter dem Integralzeichenauszuführen, wodurch zwar mehrgliedrige Ausdrücke auftreten, dereneinzelne Monome aber nach den Regeln, über die wir berichtet haben,und die als

i

/ x"‘dx = * ,

J m + i

0

sich zusammenfasseu lassen, integriert werden können. Da ferner fürWallis bereits der Satz vorhanden war, den wir heute dahin aus-sprechen, das Integral einer Summe sei gleichbedeutend mit der Summeder Integrale, so findet er eine ganze Anzahl von Werthen der Funktion

/(. - J)

¥

dx

bei A = 0, 2, 4, 6, 8 und (i — — 1, ü, 1, 2, ... 8, von welchen diebei (i = — 1 erscheinenden allerdings falsch sind. Ist gleichzeitig Aund (i grad, so haben die Integrale eine sehr symmetrische Gestalt,und Wallis nimmt nach derselben Induction, von welcher er fort-während Gebrauch macht, an, diese Symmetrie müsse erhalten bleiben,auch wenn A ungrad gewählt wird. Kurzum Wallis beabsichtigt eine