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01. Kapitel.

demselben Jahrgänge der A. E. findet sich Additamcntum efjectionisquadraturarnm et rccU/icationum per scricm quandcim gcncralissimam '),welche anschliessend an die Loibnizische Integration mittels Reihenvon 1(593 (S. 206) eine Reihenentwicklung ganz anderer Art unddurchaus neuer Entstehungsweise liefert. Sei ndz das Differentialeiner Fläche, wobei n irgendwie aus Veränderlichen und Constantenzusammengesetzt ist. Die Identität

ndz — ndz + zdn

7 z' 2 d 3 n .

uhl ~ r ~2~dz +

z 3 d‘n~2 • dz

+ r

z 3 d 3 n2 ■ 3 • dz 1

z 3 d 3 n

1 2 • 3 dz*

heilt auf der Hand und ebenso deren Fortsetzbarkeit durch behelligviele Paare von gleichlautenden positiven und negativen Gliedern, inwelchen bald das positive bald das negative Glied voraussteht. Ber-noulli bedient sich allerdings noch nicht der Zahlenzeiger für diehöheren Difterentialien, sondern des wiederholt geschriebenen Buch-staben d, der bis zu viermaliger Schreibung (in ddddz) in dem Auf-sätze vorkommt. Sind die Gliederpaare so geordnet, wie wir es er-klärten, so finden sich in der den Ausgangspunkt bildenden Identitätrechts vom Gleichheitszeichen erst zwei positive, dann zwei negativeGlieder, dann wieder zwei positive u. s. w. in gleichmässiger Wieder-kehr des Zeichenwechsels. Jedes dieser Gliederpaare, die aber augen-scheinlich von dem, was oben Gliederpaar genannt wurde, verschiedensind, bildet ein vollständiges Differential

z l i i ; ' 11

z l + l d x+x n

-J=d( -- -;)•

lA \i 2 m + i )dz t /

1 2 • Xdz*- 1 1 ■ 2 • • • 1(1 + X)dA Al o . + i)rfs

Man kann daher die unendlich gedachte Reihe integriren und erhält:

T . 7 z 3 dn , z 3 d 3 n

Integr. ndz = nz - 1 ; a Tg + x . ä dz 3 -‘

Es ist fast überflüssig darauf hinzuweisen, dass Johann Bernoulli hier gleichwie in den früheren Aufsätzen ein eigentliches Integral-zeichen noch entbehrt, und, was allerdings von ungleich höhererWichtigkeit ist, dass er die Reihe ohne jedes Bedenken ins Unend-liche fortsetzte. Ob sie gegen einen bestimmten Werth convergire,macht ihm genau so wenig Sorgen als der Umstand, dass wegen dervorerwähnten Verschiedenheit der die Identität fortsetzenden und derbei der Integration zusammengefassten Gliederpaare stets ein unpaaresGlied überschiesst, das bei der Integration unberücksichtigt blieb.Etwas hat aber Johann Bernoulli seit seiner Pariser Zeit hinzugelernt,vielleicht durch einen Brief von Leibniz 2 ) vom Juni 1694, das Diffe-

') Job. Bernoulli Opera 1, 125—128. 2 ) Leibniz III, 141.