Combinatorische Analysis. Wahrscheinlichkeitsrechnung.

329

sicht genommen werde. Jakob Bernoulli nennt als Vorgänger aufdem Gebiete der allen Wissenschaften gleich unentbehrlichen Com-binationslehre: Schooten, Leibniz, Wallis , Prestet 1 ), während erPascal’s einschlagende Arbeiten, abgesehen von dem, was in denBriefen an Permat stand, nicht gekannt zu haben scheint, trotzdemsie seit 1665 im Buchhandel waren (Bd. II, S. 684). Dieselbe Un-kenntniss müssen wir auch auf die bei Pascal’« combinatorischenArbeiten zuerst auftretende Methode der vollständigen Induc-tion, d. h. des Beweisverfahrens von n auf n 1 ausdehnen. JakobBernoulli scheint demnach diese Methode, deren er sich in einemkleinen Aufsatze sehr einfachen, auf arithmetische Reihen bezüglichenGegenstandes 2 ) in den A. E. für September 1686 bedient hatte, diedann in der Ars Conjectandi wiederholt benutzt wird 3 ) selbständignacherfuuden zu haben. Das Vorrecht Paseal’s kann dadurch nichtbeeinträchtigt werden, aber es wird begreiflich, dass man lange ZeitJakob Bernoulli für den Erfinder der Methode hielt und sie vielfachnach ihm benannte. Ging es doch mit der Methode der unbestimmtenCoefficienten nicht viel anders, von welcher man durch die grosseVerbreitung der Descartes’schen Geometrie aller ()rten Kenntniss habenmusste, und von welcher Newton wie Leibniz bei den verschiedenstenGelegenheiten Gebrauch machten, ohne je den damals vermuthlicliallgemein bekannten Urheber der Methode zu nennen, so dass spätereSchriftsteller bald Newton, bald Leibniz für den Erfinder hielten.Bei Betrachtung der Permutationen unterscheidet Jakob Bernoulli diezwei Möglichkeiten, dass alle Elemente verschieden 4 ), oder dass siezum Theil unter einander gleich 5 ) sein sollen. Die Ableitung derFormel für die Permutationszahlen erfolgt, wenn alle Elemente ver-schieden sind, durch Betrachtung von 1, 2, 3 . . . der Reihe nach auf-tretenden Elementen. Von n Elementen kann jedes als erstes ge-schrieben werden, worauf ihm so viele Permutationsformen nachfolgen,als aus den anderen n — 1 sich bilden lassen, die Permutationszahlfür n Elemente ist also n mal so gross als die für n — 1 Elemente.Mit einander übereinstimmende Elemente werden erst als verschiedengedacht, und ihr Gleichwerden findet nachträgliche Berücksichtigung.Bei den Combinationen muss der Exponent » 6 J, d. h. die Anzahl der injeder Form enthaltenen Elemente oder die Klasse, zu welcher eom-biniert wird, beachtet werden. Er findet in den Wörtern Unionen,Einionen, Ternionen, Qaaternionen für Formen mit 1, 2, 3, 4 Elementenseinen Wiederklang, und sogar das Wort Null io wird gebildet, um

') Ars (hnjectandi pag. 73. *) Jac. Bernoulli, Opera I, 282—283.

:i ) Ars Conjectandi pag. 92 und häufiger. 4 ) Ebenda pag. 7ä. Ebenda

pag. 77. °) Ebenda pag. 82.