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9G. Kapitel.

anzudeuten, dass man gar kein Element nehme. Auch bei den Com-binationen wird die Verschiedenheit aller benutzten Elemente einenHauptfall bilden, ihre theilweise Gleichheit einen zweiten. Die Ele-mente treten allmälig neu hinzu, werden aber dann mit den schonvorhandenen in jeder denkbaren Weise verbunden, d. h. die Combina-tionen von n Elementen zu allen Klassen von den Unionen bis zuden IVionen (Formen von je n Elementen) werden gleichzeitig ge-bildet. Eine kleine diese Entstehung versinnlichende Tafel, derenVorbild für Jakob Bernoulli in den Exercitationes mathematicae vonFranciscus van Schooten gefunden sein dürfte 1 ), ist folgende:

a

b . ab

c . ac .bc. abc

d. ad . bd . cd . abd . acd . bcd . abcde . ae . be . ce . de . abe . ace . bae . ade . bde . cde . abce . abde . acde

. bcde . abcde.

In jeder Zeile steht eine Form mehr (die neu hinzutretende Union)als in sämmtlichen früheren Zeilen zusammen, mithin in der erstenZeile 1, in der zweiten 1 -+ 1 = 2, in der dritten 1 -+ 1 -{- 2 = 2 2 ,m der vierten 1 -f 1 f 2 -f 2 S = 2 3 , in der wten

1 + 1 + 2 + 2 2 -j -(- 2*- 2 = 2'— 1

Formen. Alle Zeilen zusammen geben

1 -+ 2 -+ 2 2 -+-(- 2'— 1 = 2* — 1

Formen 2 ). Die Formen der einzelnen Zeilen klassenweise geordnet geben

für die Unionen der Reihenfolge der Zeilen nach 1 -+1 —+1 _J_1 _j_ l _|-

für die Billionen 0 -+ 1 -+ 2 -+ 3 -+ 4 -+ • • •, für die Ternionen

0 —{— 0 —|— 1 —)— 3 -+ (3 —J— - - - u. s. w., so dass die Uebereinstimmung

mit den figurierten Zahlen zu Tage tritt 3 ). Das ist aber einGegenstand, mit welchem schon die beiden Ulmer MathematikerFaulhaber und Kemmelin, mit welchem Wallis , Mercator,Prestet sich beschäftigt haben 1 ). Werden die Zahlen

l + l + l + l-t"l+ -- ’, G+1+1 + 1-+1+---,

0 -+ 0 + 1 •+ 3 + 0 -|-

je in einer Columne unter einander, die Columnen selbst neben ein-ander geschrieben, so entsteht ein Zahlenrechteck 5 )

*) Vergl. Franc., van Scliooten, Exercitationes mathematicae pag. 373mit Ars Conjeetandi pag. »3. ■) Ars Conjectaudi pag. 84. s ) Ebenda pag. 86.

*) Ebenda pag. 95. 6 ) Ebenda pag. 87.