Comliinatorische Analysis. Wahrscheinlichkeitsrechnung.
1 0 0 0 0110 0 012 10 01 3 3 1 0
1 4 6 4 1
in welchem die Stellen über der von links oben nach rechts unten
verlaufenden Diagonale durch Nullen eingenommen sind, nach derenEntfernung eine dreieckförmige Tafel der Binomialcoefficienten übrigbleibt, nicht übereinstimmend, aber doch nahe verwandt mit derseiner Zeit von Michael Stifel erfundenen Anordnung (Bd. II,S. 308), mit der von Tartaglia später benutzten Nachbildung (Bd. II,S. 480 und 482). Weder Stifel noch Tartaglia kommen aber unterden von Jakob Bernoalli erwähnten Vorgängern vor. Er dürfte beideSchriftsteller demnach nicht gekannt haben, ein ganz interessanterBeleg für die Raschheit, mit welcher mitunter auch ganz hervor-ragende Werke aus dem Gedächtnisse verschwinden. Die vorher vonihm genannten Mathematiker, fährt Bernoulli fort, hätten durch In-duction Formeln für die figurierten Zahlen gefunden, Wallis auch dieSumme von Potenzen der aufeinander folgenden Zahlen dernatürlichen Zahlenreihe, aber von Beweisen sei nirgend die Redegewesen. Wer allerdings glaubt, Bernoulli sei* diesem seinem eigenenVorwurfe nicht verfallen, er habe vielmehr jede Induction verschmäht,befindet sich im Irrthum. Bernoulli’s Gedankengang ist folgender 1 ).Den Ausgangspunkt bildet ein Satz, der unter Anwendung des Zeichens
*•
('/, für die Zahl der Combinationen ohne Wiederholung aus h Ele-
k
menten zur Klasse k, wodurch C* = 0, so lange h < k, sich in der
k k— 1 k— 1 *— 1
Formel = f, -)- C 2 -f- • • ■ -(- C„_i ausspricht, oder als
1.2...A- — ,^ 1 1.2...(4-1)
Bernoulli findet den Satz für k = 2, 3, 4 ... richtig und dehnt ihn
dann inductiv aus. Bei k — 3 ist demnach (sofern
1)0-2)
1) (n — 2)
— 1)(w
Sn -f- n
b Ars Conjectmuli pag. 96—98.