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i)(j. Kapitei.
Aber Sn — ” , und setzt man diesen Werth in die Gleichung
ein und löst sie dann nach Sn 2 auf, so findet sich
Sn 2 = 2
— 1) (n — 2)
1.2.3
-|- 3 Sn — 2 m = ^ n s -(- -- ri +
und diese Summe der Quadratzahlen lässt sich weiter als bekanntbetrachten, zunächst bei A' = 4. Diese Annahme liefert
n(n- 1) (»i — 2) (« — 3) _ (« — 1) (n — 2) (n — 3) _ Q (ri U n , )
1.2.34 1.2.3 \0 ' ' 0 /
= J_. ,Sm 3 — Sw 2 + “ S« — »
0 U
und daraus ,S'm 3 = \ m 4 + * k 3 + m 2 . Bernoulli hat die Rechnung,
von welcher er behauptet, sie werde mit leichter Mühe 1 ) vollzogen,bis zu /. = 11, d. h. bis zur Darstellung der lOten Potenzen durchgeführt. Ihr Ergebniss ist:
Sn
=
l
*2
ri
+
l
y»
Sri-
-
1
3
ri
+
1
2 ,r
+ v
n
Sn"
=
4
ri
+
1 3
v «
+ 1
ri
Sri
1
~b
ri
+
2 » 1,4
+ ;
ri —
l
30
n
Sri
-
1
0
ri
+
2 ,?Ä
+ Ä
ri —
1
12
n~
Sri
1
7
ri
+
+ :
ri' —
1
ü
» s +i-
n
Sri
1
’s"
ri
+
i .
2 H
+ "l 2
ri -
7
24
» 4 + 12
n~
Sri
-
1
V
ri
+
1 X
2 H
<•>
+ 3
ri —
7
16
" 5 +’o
« 3 —
3 b tt
Sri
=
l
10
ri°
+
1 a
2 H
ri —
7
10
H 6 + !
n A —
1
12 ”‘
Sri 0
=
i
i i
ri 1
+
V M 10»>
ri —
1
ri + 1
—
1 « 3 +
2 • fiG
Wer aber, heisst es unmittelbar weiter, das Gesetz der Reihen genauerbetrachtet, kann auch ohne die Umschweife der Rechnung die Tabellefortsetzen. Ist c der ganzzahlige Exponent irgend einer Potenz, so wird
4\ / ~ In 'i\ ln A\
c(c 1) (c 2 ) (c 3) (c 4)* -2 . 3 . 4 . 5 . 0
l ) hei neyotio.