Combiuatorische Analysis. Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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Die Exponenten der Potenzen von n nehmen von c — 1 anfangendregelmässig um je 2 ab, so dass das letzte Glied n‘~ oder n wird, jenachdem c ungrad oder grad war. Die Buchstaben A,B,Ü. . . werdennach und nach bei der Bildung der Summen Sn c mit gradem c ge-
is gehört also zusammen
c = 2
und
A
l
o
c — 4
und
I;
1
30
c = 6
und
a =
1
tä
c = 8
und
B =
—
1
30
c = 10
und
li —
5
6Ö
Diese grossen Buchstaben werden vermittelst ihrer grundlegenden Eigen-schaft gefunden, dass sie die übrigen Coefficienten, welche bei Ent-wicklung der betreffenden Potenzsumme auftreten, zur Einheit ergänzen.Bei Sn s sind beispielsweise, wie aus der kleinen Tabelle entnommen
werden kann, die Coefficienten der fünf ersten Glieder * , ^ ,
7 2 31.
— 15 ’ <j ' Deren Summe - wird durch I) zur Einheit ergänzt, d. h.
+ 71 = 1, 1) = — ^ • Wie Jakob Bernoulli zu diesen wichtigen
Sätzen gekommen sein mag, welche geniale Induction ihn dazu führte,die Exponenten von c — 1 an um je 2 abnehmen zu lassen und dieauftretenden Coefficienten durch aus ihnen hervorgehobene Eaetorenso zuzustutzen, dass die Zahlen A, B, C, I), . . . immer wieder auf-treteu, das zu errathen ist unmöglich. Der letzte Satz allein ist leichteinzusehen. Ist nämlich « = 1, so besteht Sn c nur aus dem einenGliede l c = 1, während rechts vom Gleichheitszeichen gleichfalls allePotenzen von n durch Einheiten zu ersetzen sind, mithin die einzelnenCoefficienten durch den Schlusscoefficienten zur Einheit ergänzt wer-den müssen. Die Zahlen A , B , C, I), . . . haben bekanntlich späterden Namen der Bernoulli’schen Zahlen erhalten. Eine Operation,auf welche Jakob Bernoulli ein berechtigt grosses Gewicht legt, istdie Bildung von Combinationen nebst deren Permutationen 1 ).Er behandelt sie, beziehungsweise sucht die Anzahl ihrer Formensowohl unter der Voraussetzung lauter von einander verschiedener,als auch wiederholt auftretender Elemente, und zwar sind in letzteremFalle sowohl Combinationen mit unbedingter als mit bedingter Wieder-holbarkeit 2 ) der Untersuchung unterworfen. Bei den Combinationen
') Ars Conjectundi. Pars sccunda. Caput VII Ile Combinationibus et Per-hiututwnibus mixtim sptctatis. pug. 124 sqq. 2 ) Ars Coiijectandi pag. 133.
Cantok , Geschichte der Mathematik. III, 'i. *22