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06. Kapitel.

gression erfolge 1 ). Rechnung lehrte ihn dann, dass man nicht einmalverschiedene arithmetische Progressionen aneinanderzureihen brauche,sondern dass man vom 12. bis zum 86. Lebensjahre eine einzige mitgleichen Unterschieden von Jahr zu Jahr abnehmende Zahl der Leben-den voraussetzen dürfe. Die nach oben und unten vorkommendenAbweichungen höben sich in ihren Ergebnissen auf. Diese Annahmebildet demnach eine Grundlage der Sätze und Tafeln, welche denHauptbestandtheil der kleinen Schrift ausmachen. Erst einem An-hänge ist es Vorbehalten, die Beweise für die vorher ausgesprochenenBehauptungen zu bringen. Als Beispiel möge die erste der be-wiesenen Formeln dienen 2 ).

Lebensergänzung 3 ) nennt De Moivre die Anzahl n der Jahre,welche zwischen dem Alter des Rentennehmers und dem höchstenLebensalter, als welches das Alter von 86 Jahren gilt, liegen. AlsZinsverhä-Itniss 4 j wird unter Annahme von p -proeentiger Verzin-sung der Ausdruck r = 1 -f- ^ benannt, Die Rente selbst soll 1

betragen. Der Baarwerth einer unter allen Umständen, also gleich-giltig ob der Rentennehmer am Leben bleibe oder inzwischen sterbe,n Jahre lang einzuzahlenden Rente 1 sei P, so wird der Baarwerthder auf Lebensdauer des 86 — «-jährigen Rentennehmers vereinbarten

1 — ~ • P

Einheitsrente sich auf - ----- belaufen. Wenn das Absterben der

r — 1

Altersgenossen des Rentennehmers innerhalb n Jahren so stattfindet,dass die Anzahl der Lebenden sich jährlich um Gleiches vermindert,

so beträgt diese Durchschnittszahl der Todesfälle jährlich der zuAnfang Lebenden, oder die Wahrscheinlichkeit das nächste, das nach-folgende, . . . das «te Jahr zu erreichen ist - - * *, ” ^ Mit

ihr wird die Rente 1 vervielfacht und der Baarwerth durch Divisionmit entsprechenden Potenzen von r gefunden. Die Baarwerthe sämmtlicher Jahresbeträge vereinigen sich also zu

i — 1 . n —

nr ' »r 1

+

nr"- 1 ’

welche n —1-gliedrige Reihe zu summiren ist. Dazu bedürfe es,erklärt De Moivre 0 ), einer etwas mehr als gewöhnlichen Fertigkeit in

') Annuities upon I.ives pag. VIII: Tuo or three Years after the Publicationof the first Edition of my Doctrine of Chancen I toole the Subject into considera-tion; and Consulting Pr. Halley’s Table of Obserrations, I founil that the Pecre-ments of Life, for considerdble Intervals of Time, were in Arithmetic Progression.*) Ebenda pag. 83—86. 3 ) Complement of Life. 4 ) Bäte of Interest.

*) As the Beasonings that led me to that general Expression, re.qu.ires something