Iteihenlelire. Difterenzenreclmung.

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wähnen, von denen es zweifelhaft sein könnte, oh sie mit Recht hierzur Behandlung kommen, welche wir aber anderwärts noch wenigergut unterzubringen wissen.

So z. B. gehören die 1703 in den Abhandlungen der PariserAkademie des Sciences von Leibniz 1 ) veröffentlichten Gedanken überein Zahlensystem mit der Grundzahl 2 nur sehr bedingter Weisezur Reihenlehre. Leibniz hat schon 1698 die Grundzüge ^seiner Dyadikin einem Briefe an Job. Ch. Schulenburg 2 ) auseinandergesetzt und dortbehauptet, sich schon seit zwanzig und mehr Jahren damit beschäftigtzu haben 3 ). Im Drucke aber sprach er, wie bemerkt, erst 1703 esaus, dass die beiden Zahlzeichen 0 und 1 genügen, jede beliebige Zahldarzustellen, oder anders ausgedrückt, dass jede Zahl in eine nachPotenzen der Grundzahl 2 fortschreitende Reihe entwickelt werdenkönne, deren Coefficienten nur 0 oder 1 seien. Zum praktischen Ge-brauche empfiehlt Leibniz dieses Zweiersystem allerdings nicht. DieReihen werden für nur mässig grosse Zahlen viel zu lang, jedenfallsw 7 eit länger als sie in dem Systeme von der gewohnten Grundzahl 10ausfallen, oder gar in einem solchen von der Grundzahl 12 oder 10ausfallen würden, wenn man ein solches in Uebung hätte. Nur dastheoretische Interesse wird hervorgehoben, und ferner glaubte Leibniz irrigerweise die chinesischen Kuas als dyadisch geschriebene Zahlenerklären zu können (Bd. I, S. 9).

Eine mit der Reihenlehre nahe verwandte Aufgabe ist die Auf-findung des Zusammenhangs zwischen trigonometrischen Functioneneines einfachen und eines vielfachen Winkels . Yieta (Bd. II, S. 557—558) hat sich 1594 dieser Aufgabe zugewandt, rund ein Jahrhundertspäter erschien sie neuerdings auf der Tagesordnung, Johann Ber-noulli 4 ) wies im Juniheft 1700 der A. E. darauf hin. Im Decemberhefte äusserte sich Jakob Bernoulli 5 ) darüber. Die Aufgabe derWinkeltheilung sagte er, sei algebraisch, wenn die Theilung in ganz-zahligen Verhältnissen ausgeführt werden solle, transcendent, wenneine unbestimmte Theilung in ganz beliebigem Verhältnisse verlangtwerde. Wir wissen, dass die beiden Brüder Bernoulli jede Gelegenheit, ob passend oder unpassend, ergriffen, um sich Unannehmlich-keiten zu sagen, und dass die Wissenschaft aus ihrem gehässigenVerfahren Nutzen zu ziehen pflegte. Johann Bernoulli 6 ') gab imAprilhefte 1701 eine Reihe, welche die Sehne des 7«fachen Bogensauf die des einfachen zurückführte, und welche nur bei minzzahliu-

’) Leibniz VII, 223—227. s ) Ebenda VII, 240—242. 3 ) Etui haec

jam u viginti ac amplins annis in mente habuerim. 4 ) Job. Bernoulli Optra1,331—332. 6 ) Jac. Bernoulli Opera 11,892. 8 ) Job. Bernoulli OperaI, 380—389.